Maths class 10th standard exam paper 2025 solution

Mathematics question 18 (E) paper Feb-March 2025

વિભાગ-A (SECTION-A)

સાચા વિકલ્પ પસંદ કરો (પ્રશ્નો: 1 થી 6)

1) નીચેની આકૃતિમાં બે લાકડીઓ દર્શાવેલ છે. એક સફેદ અને બીજી કાળી છે. આકૃતિમાં આપેલ લંબાઈ પરથી સફેદ લાકડીની લંબાઈ $\_$ cm થશે.

આકૃતિ (સંદર્ભ માટે):

કુલ લંબાઈ: $22$ cm ²
કાળી લાકડીની લંબાઈ: $5$ cm ³
સફેદ લાકડીની લંબાઈ $=$ કુલ લંબાઈ $-$ કાળી લાકડીની લંબાઈ
સફેદ લાકડીની લંબાઈ $= 22 – 5 = 17$ cm

(નોંધ: આપેલા વિકલ્પોમાં $17$ નથી. ધારીએ કે પ્રશ્નપત્રમાં આકૃતિમાં કાળી લાકડીની લંબાઈ $13.5$ cm હોય અને કુલ લંબાઈ $22$ cm હોય, તો સફેદ લાકડીની લંબાઈ $22 – 13.5 = 8.5$ cm થાય, જે વિકલ્પ (C) છે. જો કાળી લાકડીની લંબાઈ $5$ cm હોય અને સફેદ લાકડીની લંબાઈ $8.5$ cm હોય, તો કુલ લંબાઈ $5 + 8.5 = 13.5$ cm થશે, જે વિકલ્પ (B) પણ છે. આકૃતિ સ્પષ્ટ ન હોવાથી, આપેલા વિકલ્પોમાંથી એક વિકલ્પ (C) $8.5$ cm અથવા (D) $6$ cm ની ગણતરી માટે, જો આપણે ધારીએ કે કાળી લાકડીની લંબાઈ $13.5$ cm છે, તો:

સફેદ લાકડીની લંબાઈ $= 22 – 13.5 = 8.5$ cm.)
સાચો વિકલ્પ: (C) $8.5$ ⁴

2) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-2x+1=0$ માટે $x+\frac{1}{x}=$ ની કિંમત $\_$ છે. ⁵⁵⁵

સમીકરણ: $x^{2}-2x+1=0$ ⁶
આ એક પૂર્ણ વર્ગ સમીકરણ છે: $(x-1)^{2}=0$
તેથી, $x-1=0 \implies x=1$.
હવે, $x+\frac{1}{x} = 1 + \frac{1}{1} = 1+1 = 2$.
સાચો વિકલ્પ: (C) 2 ⁷

3) એક સમાંતર શ્રેણી માટે, જો $d=-4$, $a_{7}=4$ હોય તો તેનું પ્રથમ પદ $a = \_$ છે. ⁸

સમાંતર શ્રેણીના $n$ મા પદનું સૂત્ર: $a_n = a + (n-1)d$.
અહીં $n=7$, $a_7 = 4$, $d=-4$ ⁹
$a_7 = a + (7-1)d$
$4 = a + (6)(-4)$
$4 = a – 24$
$a = 4 + 24 = 28$
સાચો વિકલ્પ: (D) 28 ¹⁰

4) બિંદુઓ $(2,-1)$ અને $(-1,-5)$ વચ્ચેનું અંતર $\_$ એકમ છે. ¹¹¹¹¹¹¹¹

અંતર સૂત્ર: $D = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
બિંદુઓ: $(x_1, y_1) = (2, -1)$ અને $(x_2, y_2) = (-1, -5)$
$D = \sqrt{(-1-2)^2 + (-5-(-1))^2}$
$D = \sqrt{(-3)^2 + (-5+1)^2}$
$D = \sqrt{9 + (-4)^2}$
$D = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ એકમ
સાચો વિકલ્પ: (B) 5 ¹²

5) જો $\sin^{2}\theta=\frac{1}{2}$ હોય તો $\tan^{2}\theta=$ ની કિંમત $\_$ છે. ¹³

$\sin^{2}\theta=\frac{1}{2}$
$\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
આમ, $\theta = 45^{\circ}$
$\tan^{2}\theta = \tan^{2}(45^{\circ}) = (1)^2 = 1$
અથવા
$\cos^{2}\theta = 1 – \sin^{2}\theta = 1 – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
$\tan^{2}\theta = \frac{\sin^{2}\theta}{\cos^{2}\theta} = \frac{1/2}{1/2} = 1$
સાચો વિકલ્પ: (D) 1 ¹⁴

6) કોઈ માહિતી માટે, જો મધ્યક (Mean) અને મધ્યસ્થ (Median) અનુક્રમે 21 અને 23 હોય તો બહુલક (Mode) $\_$ છે. ¹⁵

બહુલક, મધ્યક અને મધ્યસ્થ વચ્ચેનો આંકડાશાસ્ત્રીય સંબંધ: $\text{બહુલક} \approx 3 \times \text{મધ્યસ્થ} – 2 \times \text{મધ્યક}$
$\text{મધ્યક} = 21$ ¹⁶
$\text{મધ્યસ્થ} = 23$ ¹⁷
$\text{બહુલક} \approx 3(23) – 2(21)$
$\text{બહુલક} \approx 69 – 42$
$\text{બહુલક} \approx 27$
સાચો વિકલ્પ: (A) 27 ¹⁸

ખાલી જગ્યાઓ પૂરો (પ્રશ્નો: 7 થી 12)

7) જો $1080=2^{x}\times3^{y}\times5$ હોય તો $x-y = \_$ (2, 0, 3) ¹⁹

$1080$ ના અવિભાજ્ય અવયવ:$1080 = 108 \times 10 = (2^2 \times 3^3) \times (2 \times 5) = 2^{3} \times 3^{3} \times 5^{1}$
$1080=2^{x}\times3^{y}\times5^{1}$ સાથે સરખાવતા:$x=3$ અને $y=3$.
$x-y = 3-3 = 0$.
જવાબ: 0 ²⁰

8) જો $P(x)=x^{2}-2x+5$ બહુપદીના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ હોય તો $\alpha \times \beta = \_$ (3, 4, 5) ²¹

દ્વિઘાત બહુપદી $ax^2 + bx + c$ ના શૂન્યોનો ગુણાકાર $\alpha \times \beta = \frac{c}{a}$ હોય છે.
અહીં, $P(x)=x^{2}-2x+5$ માટે $a=1$, $b=-2$, $c=5$.
$\alpha \times \beta = \frac{5}{1} = 5$.
જવાબ: 5 ²²

9) એક સમતોલ પાસાને એક વાર ઉછાળવામાં આવે છે. તો શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $\_$ છે. (6, 12, 36) ²³

પાસાને એક વાર ઉછાળવાથી શક્ય પરિણામો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
કુલ સંખ્યા $= 6$.
જવાબ: 6 ²⁴

10) $\sin 30^{\circ} = \_$ ($\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}}{2}$) ²⁵

ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટક મુજબ $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$.
જવાબ: $\frac{1}{2}$ ²⁶

11) વર્તુળના અંદરના ભાગમાં આવેલા બિંદુમાંથી $\_$ સ્પર્શકો દોરી શકાય છે. (2, 1, 0) ²⁷

વર્તુળના અંદરના ભાગમાં આવેલા બિંદુમાંથી વર્તુળને એક પણ સ્પર્શક દોરી શકાતો નથી.
જવાબ: 0 ²⁸

12) આપેલ માહિતી 2, 6, 4, 5, 0, 3, 1, 3, 2, 3 માટે બહુલક (Mode) $\_$ છે. (2, 3, 4) ²⁹

બહુલક એ માહિતીમાં સૌથી વધુ વખત આવતો અવલોકન છે.
અવલોકન 3 એ 3 વખત આવે છે, જે મહત્તમ છે.
જવાબ: 3 ³⁰

વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો (પ્રશ્નો: 13 થી 16)

13) $\sqrt{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે. ³¹

ખરું.

14) 12, 15 અને 21 નો ગુરુત્તમ સામાન્ય અવયવ (HCF) 1 છે. ³²

$12 = 2^2 \times 3$
$15 = 3 \times 5$
$21 = 3 \times 7$
HCF(12, 15, 21) = 3.
ખોટું.

15) $\sqrt{3}x+5$ એ સુરેખ બહુપદી છે. ³³

સુરેખ બહુપદીનું સ્વરૂપ $ax+b$ છે, જ્યાં $a \neq 0$ અને ઘાત 1 છે. આ બહુપદીની ઘાત 1 છે.
ખરું.

16) ઘટના E અને ‘ઘટના E નહીં’ ની સંભાવનાનો સરવાળો 1 છે. ³⁴

સૂત્ર: $P(E) + P(\overline{E}) = 1$.
ખરું.

એક વાક્ય કે એક શબ્દમાં જવાબ આપો (પ્રશ્નો: 17 થી 20)

17) 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, $\dots$ એ સમાંતર શ્રેણી છે કે નહીં? ³⁵

સમાંતર શ્રેણીમાં ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન હોય છે.
બીજું પદ – પ્રથમ પદ: $1-1=0$
ચોથું પદ – ત્રીજું પદ: $2-1=1$
તફાવત સમાન ન હોવાથી, તે સમાંતર શ્રેણી નથી.
જવાબ: નહીં

18) એક વર્તુળને વધુમાં વધુ કેટલા સ્પર્શક હોઈ શકે? ³⁶

અસંખ્ય.
જવાબ: અસંખ્ય

19) જો $P(A)=0.65$ હોય તો $P(\overline{A})$ શોધો. ³⁷

$P(A) + P(\overline{A}) = 1$
$P(\overline{A}) = 1 – P(A) = 1 – 0.65 = 0.35$
જવાબ: 0.35

20) નીચે આપેલ આવૃત્તિ વિતરણ માટે બહુલક વર્ગ શોધો. ³⁸

વર્ગ	1-3	3-5	5-7	7-9	9-11
આવૃત્તિ	7	8	2	2	1

બહુલક વર્ગ એ મહત્તમ આવૃત્તિ ધરાવતો વર્ગ છે.
મહત્તમ આવૃત્તિ 8 છે, જે વર્ગ 3-5 ની છે.
જવાબ: 3-5

જોડીઓ જોડો (પ્રશ્નો: 21 થી 24)

21) નળાકારની વક્ર સપાટીનું ક્ષેત્રફળ

સૂત્ર: $2\pi rh$
જવાબ: (c) $2\pi rh$ ³⁹

22) શંકુનું ઘનફળ

સૂત્ર: $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$
જવાબ: (a) $\frac{1}{3}\pi r^{2}h$ ⁴⁰

23) $r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનો પરિઘ

સૂત્ર: $2\pi r$
જવાબ: (b) $2\pi r$ ⁴¹

24) $\theta$ ખૂણાવાળા વર્તુળના લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ

સૂત્ર: $\frac{\pi r^{2}\theta}{360}$
જવાબ: (c) $\frac{\pi r^{2}\theta}{360}$ ⁴²

વિભાગ-B (SECTION-B)

34) જમીન પરના એક બિંદુથી ટાવરની ટોચના ઉત્સેધ કોણનું માપ $30^{\circ}$ છે. આ બિંદુ ટાવરના પાયાથી 30 m દૂર છે, તો ટાવરની ઊંચાઈ શોધો. ⁴³

ગણતરી:

ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે.
ટાવરના પાયાથી અવલોકન બિંદુ સુધીનું અંતર $d = 30$ m છે.
ઉત્સેધ કોણ $\theta = 30^{\circ}$ છે.
$h$, $d$ અને $\theta$ વચ્ચેનો સંબંધ $\tan\theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}}$ દ્વારા અપાય છે.
$\tan 30^{\circ} = \frac{h}{30}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{30}$
$h = \frac{30}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ (છેદનું સંમેયીકરણ કરતા)
$h = \frac{30\sqrt{3}}{3} = 10\sqrt{3}$ m
જવાબ: ટાવરની ઊંચાઈ $10\sqrt{3}$ m છે.

gunjo.in