• ઉકેલ: બીજ સમાન હોય તો વિવેચક $D=0$. $D = b^2 – 4ac = (-4\sqrt{3})^2 – 4(3)(k) = 48 – 12k = 0 \implies k=4$.
• જવાબ: (D) 4

5) સમાંતર શ્રેણી 10, 7, 4,….. નું 30 મું પદ …… છે.

• ઉકેલ: $a=10, d=-3$. $a_{30} = 10 + (29)(-3) = 10 – 87 = -77$.
• જવાબ: (C) -77

6) $\triangle PQR$ ની બાજુઓ $PQ$ અને $PR$ પર અનુક્રમે બિંદુઓ $E$ અને $F$ આવેલાં છે. તથા $EF||QR$ છે. જો $PE = 4 \text{ સેમી}, PF=8 \text{ સેમી}$ અને $RF = 9 \text{ સેમી}$ હોય તો, $QE=$ …… સેમી થાય.

• ઉકેલ: થેલ્સ પ્રમેય મુજબ: $\frac{PE}{QE} = \frac{PF}{RF} \implies \frac{4}{QE} = \frac{8}{9} \implies QE = \frac{4 \times 9}{8} = 4.5 \text{ સેમી}$.
• જવાબ: (C) 4.5

નીચે આપેલા વિધાનો સાચાં બને તેમ કૌંસમાં આપેલ જવાબમાંથી યોગ્ય જવાબ પસંદ કરી લખો. (પ્રશ્નક્રમાંક : 7 થી 12)

7) આપેલ બિંદુઓની જોડી $(-5,7), (a,3)$ નું અંતર $4\sqrt{2}$ હોય તો $a=$ …… $(0,1,1)$

• ઉકેલ: $D^2 = (a+5)^2 + (3-7)^2 = 32 \implies (a+5)^2 = 16 \implies a+5 = \pm 4$. તેથી $a = -1$ અથવા $a = -9$. (જો કૌંસમાંના વિકલ્પોને અવગણવામાં આવે તો).
• જવાબ: (-1 અથવા -9) (નોંધ: કૌંસમાં આપેલા વિકલ્પો પ્રશ્નના ઉકેલ સાથે સુસંગત નથી.)

8) $\sqrt{1-(\sec^{2}\theta-\tan^{2}\theta)}=\_ (\frac{2,0,\sqrt{2}})$

• ઉકેલ: $\sec^{2}\theta-\tan^{2}\theta = 1$. $\sqrt{1-1} = 0$.
• જવાબ: 0

9) વર્તુળને બે બિંદુમાં છેદતી રેખાને …… કહે છે. (છેદિકા, જીવા, સ્પર્શક)

• ઉકેલ: વર્તુળને બે બિંદુમાં છેદતી રેખાને છેદિકા કહેવાય છે.
• જવાબ: છેદિકા

10) ઘડિયાળમાં મિનિટ કાંટા દ્વારા પાંચ મિનિટમાં …… અંશનો ખૂણો બને છે. (10,20,30)

• ઉકેલ: મિનિટ કાંટો 60 મિનિટમાં $360^\circ$ ફરે છે. 5 મિનિટમાં $\frac{360}{60} \times 5 = 30^\circ$ ખૂણો બને.
• જવાબ: 30

11) શંકુની કુલ સપાટીનું પૃષ્ટફળ …… $(\pi rl,2\pi rh,\pi rl+\pi r^{2})$

• ઉકેલ: શંકુની કુલ સપાટીનું પૃષ્ઠફળ $\pi r l$ (વક્રસપાટી) + $\pi r^2$ (પાયો).
• જવાબ: $\pi rl+\pi r^{2}$

12) મધ્યવર્તી સ્થિતિમાનનાં ત્રણ માપો વચ્ચેનો સંબંધ $Z=3M-2\overline{x}$ હોય તો $\frac{M-\overline{x}}{Z-M}=\_.$ $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2},2)$

• ઉકેલ: $Z – M = 2M – 2\overline{x} = 2(M – \overline{x})$. તેથી $\frac{M-\overline{x}}{Z-M} = \frac{1}{2}$.
• જવાબ: $\frac{1}{2}$

નીચેના આપેલા વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો : (પ્રશ્નક્રમાંક : 13 થી 16)

13) પ્રયોગની તમામ મૂળભૂત (પ્રાથમિક)ઘટનાઓની સંભાવનાઓનો સરવાળો શૂન્ય છે.

• જવાબ: ખોટું (સરવાળો 1 છે.)

14) સુરેખ બહુપદી $ax+b$ નું શૂન્ય $-\frac{a}{b}$ છે.

• જવાબ: ખોટું (શૂન્ય $-\frac{b}{a}$ છે.)

15) દ્વિઘાત સમીકરણ $100x^{2}-20x+1=0$ ને બે સમાન વાસ્તવિક બીજ છે.

• જવાબ: ખરું ($D=b^2-4ac = (-20)^2 – 4(100)(1) = 400-400=0$).

16) બિંદુ $P(-6,8)$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર – 10 છે.

• જવાબ: ખોટું (અંતર 10 છે, જે ઋણ ન હોઈ શકે.)

નીચે આપેલા પ્રશ્નોના એક વાક્યમાં કે શબ્દ કે અંકમાં જવાબ આપો. (પ્રશ્નક્રમાંક : 17 થી 20)

17) જો ગોલકની ત્રિજ્યાના માપમાં 10% વધારો કરવામાં આવે તો તેના વક્રસપાટીના ક્ષેત્રફળના માપમાં કેટલા ટકા વધારો થાય?

• ઉકેલ: ક્ષેત્રફળ $r^2$ ના પ્રમાણમાં હોય છે. $(1.1)^2 = 1.21$, એટલે કે 21% વધારો.
• જવાબ: 21%

18) પ્રથમ દશ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો મધ્યક કેટલો થાય?

• ઉકેલ: $\frac{n+1}{2} = \frac{10+1}{2} = 5.5$.
• જવાબ: 5.5

19) 18 અને 81 નો ગુ.સા.અ કેટલો થાય?

• ઉકેલ: $18=2\times 3^2, 81=3^4$. ગુ.સા.અ. $= 3^2 = 9$.
• જવાબ: 9

20) દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^{2}-mx-1=0$ ના બંને બીજ પરસ્પર વિરોધી હોય તો $m$ ની કિંમત શોધો.

• ઉકેલ: બીજ પરસ્પર વિરોધી હોય તો શૂન્યોનો સરવાળો 0 થાય: $-\frac{b}{a} = 0 \implies -\frac{(-m)}{9} = 0 \implies m=0$.
• જવાબ: 0

નીચે આપેલા યોગ્ય જોડકાં જોડો. (પ્રશ્નક્રમાંક: 21 થી 24)

અ	બ
21) $\alpha+\beta$	(a) $\frac{-b}{a}$
22) $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}$	(c) $\frac{-b}{c}$
23) $\sin 30^{\circ}$	(c) $\sqrt{\frac{1}{4}}$
24) $\tan 45^{\circ}$	(a) 1

---

વિભાગ – B

(પ્રશ્નક્રમાંક: 25 થી 37) (કોઈપણ 9 પ્રશ્નોના ગણતરી કરી ઉત્તર આપો)

25) જો ગુ.સા.અ. $(306, 657)=9$ આપેલ હોય તો લ.સા.અ (306, 657) શોધો.

• ઉકેલ: લ.સા.અ. $\times$ ગુ.સા.અ. = $306 \times 657$.
  • લ.સા.અ. $= \frac{306 \times 657}{9} = 34 \times 657 = 22338$.
• જવાબ: લ.સા.અ 22338 છે.

26) નીચે આપેલ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ શોધો: $\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=-1$ અને $x-\frac{y}{3}=3$

• ઉકેલ:
  • $3x+4y = -6$ (1)
  • $3x-y = 9$ (2)
  • (1) માંથી (2) બાદ કરતાં: $5y = -15 \implies y = -3$.
  • $3x – (-3) = 9 \implies 3x = 6 \implies x = 2$.
• જવાબ: $(x, y) = (2, -3)$ છે.

27) આપેલ સમીકરણનો ઉકેલ અવયવીકરણની રીતથી મેળવો: $\sqrt{2}x^{2}+7x+5\sqrt{2}=0$

• ઉકેલ:
  • $\sqrt{2}x^2 + 5x + 2x + 5\sqrt{2} = 0$
  • $x(\sqrt{2}x + 5) + \sqrt{2}(\sqrt{2}x + 5) = 0$
  • $(\sqrt{2}x + 5)(x + \sqrt{2}) = 0 \implies x = -\frac{5}{\sqrt{2}}$ અથવા $x = -\sqrt{2}$.
• જવાબ: $x = -\frac{5}{\sqrt{2}}$ અને $x = -\sqrt{2}$ છે.

28) દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^{2}-6x+3=0$ નો વિવેચક શોધો. તે પરથી સમીકરણનાં બીજનું સ્વરૂપ નક્કી કરો, જો તે વાસ્તવિક હોય તો મેળવો.

• ઉકેલ:
  • વિવેચક $D = (-6)^2 – 4(2)(3) = 36 – 24 = 12$.
  • $D > 0$, તેથી બીજનું સ્વરૂપ: બે ભિન્ન અને વાસ્તવિક બીજ મળે.
  • બીજ $x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$.
• જવાબ: વિવેચક $D=12$. બીજ: $x = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ અને $x = \frac{3 – \sqrt{3}}{2}$.

29) જેનું ત્રીજું પદ 5 અને 7 મું પદ 9 હોય એવી સમાંતર શ્રેણી શોધો.

• ઉકેલ: $a+2d=5$ અને $a+6d=9$.
  • બાદબાકી કરતાં: $4d = 4 \implies d = 1$.
  • $a+2(1)=5 \implies a = 3$.
• જવાબ: સમાંતર શ્રેણી 3, 4, 5, 6, … છે.

30) શોધો: $2\tan^{2}45^{\circ} + \cos^{2}30^{\circ}-\sin^{2}60^{\circ}$

• ઉકેલ:
  • $2(1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 – (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 + \frac{3}{4} – \frac{3}{4} = 2$.
• જવાબ: 2.

31) સાબિત કરો: $\frac{\cos A}{1+\sin A}+\frac{1+\sin A}{\cos A}=2 \sec A$

• ઉકેલ:
  • ડા.બા. $= \frac{\cos^2 A + (1+\sin A)^2}{(1+\sin A)\cos A} = \frac{\cos^2 A + 1 + 2\sin A + \sin^2 A}{(1+\sin A)\cos A}$
  • $= \frac{2 + 2\sin A}{(1+\sin A)\cos A} = \frac{2(1+\sin A)}{(1+\sin A)\cos A} = \frac{2}{\cos A} = 2 \sec A = \text{જ.બા.}$
• જવાબ: સાબિત થાય છે.

32) 5 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના કોઈ બિંદુ P આગળ દોરેલ એક સ્પર્શક PQ, કેન્દ્ર O માંથી પસાર થતી રેખાને બિંદુ Q એ છેદે છે. જો $OQ=12$ સેમી હોય તો PQ ની લંબાઈ શોધો.

• ઉકેલ: $\triangle \text{OPQ}$ કાટકોણ ત્રિકોણ છે ($\angle \text{P}=90^\circ$).
  • $\text{PQ}^2 = \text{OQ}^2 – \text{OP}^2 = 12^2 – 5^2 = 144 – 25 = 119$.
  • $\text{PQ} = \sqrt{119} \text{ સેમી}$. * જવાબ: $\sqrt{119} \text{ સેમી}$.

33) બે ઘન પૈકી પ્રત્યેકનું ઘનફળ 64 સેમી³ હોય તેવા બે ઘનને જોડવાથી બનતા લંબઘનનું પૃષ્ઠફળ શોધો.

• ઉકેલ:
  • ઘનની બાજુ $a = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ સેમી}$.
  • લંબઘનની લંબાઈ $L=8$, $W=4$, $H=4$.
  • પૃષ્ઠફળ $= 2(LW+WH+HL) = 2(8\times 4 + 4\times 4 + 4\times 8) = 2(32+16+32) = 160 \text{ સેમી}^2$.
• જવાબ: $160 \text{ સેમી}^2$.

34) $l=3, h=2, f_{0}=7, f_{1}=8, f_{2}=2$ હોય તો માહિતીનો બહુલક શોધો.

• ઉકેલ:
  • બહુલક $Z = l + \left(\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times h$
  • $Z = 3 + \left(\frac{8 – 7}{2(8) – 7 – 2}\right) \times 2 = 3 + \frac{2}{7} \approx 3.29$.
• જવાબ: $3.29$.

35) આપેલ આવૃત્તિ- વિતરણ એક વિસ્તારમાં 68 ગ્રાહકોનો માસિક વીજ વપરાશ આપે છે. આ માહિતીનો મધ્યક શોધો.

• ઉકેલ: (ધારેલા મધ્યકની રીત, $A=135$)
  • $\sum f_i = 68$. $\sum f_i d_i = 7$ (જ્યાં $d_i = \frac{x_i – 135}{20}$)
  • મધ્યક $\overline{X} = 135 + \left(\frac{7}{68}\right) \times 20 \approx 137.06$.
• જવાબ: $137.06$ એકમ.

36) જો $P(A)=(0.8)^{2}$ હોય તો, $P(\overline{A})$ શોધો.

• ઉકેલ: $P(A) = 0.64$. $P(\overline{A}) = 1 – P(A) = 1 – 0.64 = 0.36$.
• જવાબ: $0.36$.

37) પાસાને એકવાર ફેંકવામાં આવે છે તો, i) અવિભાજ્ય સંખ્યા ii) અયુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના શોધો.

• ઉકેલ:
  • i) અવિભાજ્ય સંખ્યા $\{2, 3, 5\}$ (3 પરિણામો): $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
  • ii) અયુગ્મ સંખ્યા $\{1, 3, 5\}$ (3 પરિણામો): $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• જવાબ: i) $\frac{1}{2}$, ii) $\frac{1}{2}$.

---

વિભાગ – C

(પ્રશ્નક્રમાંક: 38 થી 46) (કોઈપણ 6 પ્રશ્નોના ગણતરી કરીને ઉત્તર આપો)

38) બહુપદી $x^{2}-5$ નાં શૂન્યો શોધો અને તેનાં શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસો.

• ઉકેલ:
  • શૂન્યો: $x^2 – 5 = 0 \implies x = \pm \sqrt{5}$. શૂન્યો $\sqrt{5}$ અને $-\sqrt{5}$.
  • ચકાસણી: સરવાળો $(\sqrt{5})+(-\sqrt{5})=0$. સૂત્ર $-\frac{b}{a}=-\frac{0}{1}=0$. ગુણાકાર $(\sqrt{5})(-\sqrt{5})=-5$. સૂત્ર $\frac{c}{a}=\frac{-5}{1}=-5$.
• જવાબ: શૂન્યો $\sqrt{5}, -\sqrt{5}$. સંબંધ ચકાસણી સાચી છે.

39) બહુપદીનાં શૂન્યો $\alpha=5+\sqrt{3}$ અને $\beta=5-\sqrt{3}$ હોય તેવી દ્વિઘાત બહુપદી શોધો.

• ઉકેલ:
  • સરવાળો $\alpha+\beta = 10$. ગુણાકાર $\alpha\beta = 5^2 – (\sqrt{3})^2 = 25-3=22$.
  • બહુપદી $P(x) = x^2 – (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = x^2 – 10x + 22$.
• જવાબ: $x^2 – 10x + 22$.

40) એવી સમાંતર શ્રેણી શોધો કે જેનું ત્રીજું પદ 16 અને 7 મું પદ 5મા પદથી 12 વધુ હોય.

• ઉકેલ:
  • $a_3 = a+2d=16$ (1). $a_7 = a_5 + 12 \implies a+6d = a+4d+12 \implies 2d = 12 \implies d = 6$.
  • $a + 2(6) = 16 \implies a = 4$.
• જવાબ: શ્રેણી 4, 10, 16, 22, … છે.

41) 200 ગોળવા ગોઠવવા માટે કેટલી હાર થશે અને સૌથી ઉપરની હારમાં કેટલા ગોળવા થશે?

• ઉકેલ:
  • $S_n = 200$. $a=20, d=-1$. $n^2 – 41n + 400 = 0 \implies (n-25)(n-16) = 0$.
  • $n=25$ અશક્ય છે ($a_{25} = -4$). તેથી $n=16$.
  • સૌથી ઉપરની હારમાં ગોળવા: $a_{16} = 20 + 15(-1) = 5$.
• જવાબ: 16 હાર થશે અને સૌથી ઉપરની હારમાં 5 ગોળવા હશે.

42) x-અક્ષ બિંદુઓ $A(1,-5)$ અને $B(-4,5)$ ને જોડતા રેખાખંડનું કયા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે તે શોધો. વિભાજન બિંદુના યામ પણ શોધો.

• ઉકેલ:
  • વિભાજન બિંદુ $P(x, 0)$ છે. $0 = \frac{k(5) + 1(-5)}{k+1} \implies 5k = 5 \implies k=1$. ગુણોત્તર $1:1$.
  • યામ $x = \frac{1(-4) + 1(1)}{1+1} = -\frac{3}{2}$.
• જવાબ: $1:1$ ગુણોત્તર. વિભાજન બિંદુના યામ $(-\frac{3}{2}, 0)$ છે.

43) બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ 5 સેમી અને 3 સેમી છે. મોટા વર્તુળની જીવા નાના વર્તુળને સ્પર્શે છે, તો તેની લંબાઈ શોધો.

• ઉકેલ:
  • પાયથાગોરસ પ્રમેય: $\text{PM}^2 + 3^2 = 5^2 \implies \text{PM} = 4 \text{ સેમી}$. * જીવાની લંબાઈ $= 2 \times \text{PM} = 8 \text{ સેમી}$.
• જવાબ: જીવાની લંબાઈ 8 સેમી છે.

44) O કેન્દ્રવાળા વર્તુળની બહારના બિંદુ T માંથી વર્તુળને બે સ્પર્શકો TP અને TQ દોરેલા છે. સાબિત કરો $\angle PTQ=2\angle OPQ$.

• ઉકેલ: $\triangle \text{TPQ}$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે. $\angle \text{TPQ} = 90^\circ – \frac{1}{2}\angle \text{PTQ}$.
  • $\angle \text{OPQ} = \angle \text{OPT} – \angle \text{TPQ} = 90^\circ – (90^\circ – \frac{1}{2}\angle \text{PTQ}) = \frac{1}{2}\angle \text{PTQ}$.
  • તેથી $\angle \text{PTQ} = 2\angle \text{OPQ}$.
• જવાબ: સાબિત થાય છે.

45) જો વર્તુળની ત્રિજ્યા 21 સેમી અને $\angle AOB=120^{\circ}$ હોય તો આકૃતિમાં દર્શાવેલ વૃત્તખંડ AYB નું ક્ષેત્રફળ શોધો. $(\pi=\frac{22}{7})$

• ઉકેલ:
  • વૃત્તનું ક્ષેત્રફળ $= 1386 \text{ સેમી}^2$.
  • લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ $\approx 271.05 \text{ સેમી}^2$ (ગણતરી $\frac{441\sqrt{3}}{4}$ નો ઉપયોગ કરીને).
  • વૃત્તખંડ $\text{AYB}$ (ગુરુ વૃત્તખંડ) $= 1386 – 271.05 = 1114.95 \text{ સેમી}^2$.
• જવાબ: વૃત્તખંડ $\text{AYB}$ નું ક્ષેત્રફળ આશરે $1114.95 \text{ સેમી}^2$ છે.

46) પાંચ ચોકટનાં પત્તાં… સંભાવના શોધો: i) પત્તું રાણીનું હશે? ii) રાણીને કાઢીને મૂકવામાં આવે તો a) એક્કો હોય? b) રાણી હોય?

• ઉકેલ:
  • i) $P(\text{રાણી}) = \frac{1}{5}$.
  • ii) રાણી દૂર કર્યા પછી કુલ પત્તા 4 છે.
    • a) $P(\text{એક્કો}) = \frac{1}{4}$.
    • b) $P(\text{રાણી}) = \frac{0}{4} = 0$.
• જવાબ: i) $\frac{1}{5}$, ii) a) $\frac{1}{4}$, ii) b) 0.

---

વિભાગ – D

(પ્રશ્નક્રમાંક: 47 થી 54) (કોઈપણ 5 પ્રશ્નોના માગ્યા મુજબ ઉત્તર આપો)

47) બે અંકોની સંખ્યાના અંકોનો સરવાળો 9 છે. વળી સંખ્યાના નવ ગણા કરતાં મળતી સંખ્યા એ અંકોની અદલાબદલી કરતાં મળતી સંખ્યા કરતાં બે ગણી છે, તો તે સંખ્યા શોધો.

• ઉકેલ:
  • $x+y=9$. $9(10x+y) = 2(10y+x) \implies 88x – 11y = 0 \implies 8x = y$.
  • $x + 8x = 9 \implies 9x = 9 \implies x=1$. $y=8(1)=8$.
• જવાબ: તે સંખ્યા 18 છે.

48) એક ટ્રેન 480 કિમીનું અંતર અચળ ઝડપથી કાપે છે. જો ઝડપ 8 કિમી/કલાક ઓછી હોય તો, આટલું જ અંતર કાપવા તે 3 કલાક વધુ લે છે, તો ટ્રેનની ઝડપ શોધો.

• ઉકેલ: (મૂળ ઝડપ $x$)
  • $\frac{480}{x-8} – \frac{480}{x} = 3 \implies 480(8) = 3x(x-8)$
  • $x^2 – 8x – 1280 = 0 \implies (x-40)(x+32) = 0$.
  • ઝડપ $x = 40 \text{ કિમી/કલાક}$.
• જવાબ: ટ્રેનની ઝડપ 40 કિમી/કલાક છે.

49) સમપ્રમાણતાનું મૂળભૂત પ્રમેય લખો અને સાબિત કરો.

• ઉકેલ:
  • વિધાન: “જો ત્રિકોણની કોઈ એક બાજુને સમાંતર દોરેલી રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે, તો તે બાજુઓ પર કપાતા રેખાખંડો તે બે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.”
  • (સાબિતી $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ માટેની રચના અને ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તરથી સાબિત કરવી). * જવાબ: પ્રમેયનું વિધાન અને સાબિતી.

50) $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ હોય તો સાબિત કરો કે, i) $\triangle AMC \sim \triangle PNR$ ii) $\frac{CM}{RN}=\frac{AB}{PQ}$ iii) $\triangle CMB \sim \triangle RNQ$. * ઉકેલ:

* i) $\triangle \text{AMC}$ અને $\triangle \text{PNR}$ માં: $\angle \text{A} = \angle \text{P}$ અને $\frac{\text{AC}}{\text{PR}} = \frac{\text{AB}}{\text{PQ}} = \frac{\text{AM}}{\text{PN}}$. (SAS) $\implies \triangle \text{AMC} \sim \triangle \text{PNR}$.

* ii) સમરૂપતાના ગુણધર્મો મુજબ $\frac{\text{AB}}{\text{PQ}} = \frac{\text{AC}}{\text{PR}}$ અને $\triangle \text{AMC} \sim \triangle \text{PNR}$ પરથી $\frac{\text{CM}}{\text{RN}} = \frac{\text{AC}}{\text{PR}}$. તેથી $\frac{\text{CM}}{\text{RN}}=\frac{\text{AB}}{\text{PQ}}$.

* iii) $\triangle \text{CMB}$ અને $\triangle \text{RNQ}$ માં: $\angle \text{B} = \angle \text{Q}$ અને $\frac{\text{BC}}{\text{QR}} = \frac{\text{AB}}{\text{PQ}} = \frac{\text{MB}}{\text{NQ}}$. (SAS) $\implies \triangle \text{CMB} \sim \triangle \text{RNQ}$.

• જવાબ: સાબિત થાય છે.

51) 1.5 મી ઊંચો એક છોકરો એક 30 મી ઊંચી ઈમારતથી કોઈક અંતરે ઊભેલ છે. ઉત્સેધકોણનું માપ 30° થી વધીને $60^{\circ}$ થાય છે. તો તે ઈમારત તરફ કેટલું અંતર ચાલ્યો હશે?

• ઉકેલ:
  • નિરીક્ષણ માટે ઊંચાઈ $\text{AE} = 30 – 1.5 = 28.5 \text{ m}$. * $\text{EC} = \frac{28.5}{\tan 30^\circ} = 28.5\sqrt{3}$. $\text{EF} = \frac{28.5}{\tan 60^\circ} = 9.5\sqrt{3}$.
  • ચાલલું અંતર $\text{CF} = \text{EC} – \text{EF} = 28.5\sqrt{3} – 9.5\sqrt{3} = 19\sqrt{3} \text{ m}$.
• જવાબ: $19\sqrt{3}$ મીટર.

52) 7 સેમી બાજુના માપવાળા સમઘનની ઉપર અર્ધગોલક મૂકેલો છે. તો અર્ધગોલકનો મહત્તમ વ્યાસ શું હોઈ શકે? આ રીતે બનેલા પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધો.

• ઉકેલ:
  • મહત્તમ વ્યાસ = સમઘનની બાજુ $a = 7 \text{ સેમી}$. ત્રિજ્યા $r = 3.5 \text{ સેમી}$.
  • પૃષ્ઠફળ $= 6a^2 + \pi r^2 = 6(7)^2 + \frac{22}{7} \times (3.5)^2 = 294 + 38.5 = 332.5 \text{ સેમી}^2$.
• જવાબ: મહત્તમ વ્યાસ 7 સેમી. કુલ પૃષ્ઠફળ $332.5 \text{ સેમી}^2$.

53) નમૂનાનો વ્યાસ 3 સેમી અને લંબાઈ 12 સેમી છે. શંકુની ઊંચાઈ 2 સેમી હોય તો રવિએ બનાવેલ નમૂનામાં કેટલી હવા સમાશે તે શોધો.

• ઉકેલ:
  • $r=1.5 \text{ સેમી}$. નળાકારની ઊંચાઈ $h_c = 12 – 2(2) = 8 \text{ સેમી}$. શંકુની ઊંચાઈ $h_s = 2 \text{ સેમી}$.
  • ઘનફળ $V = \pi r^2 h_c + 2 \times (\frac{1}{3}\pi r^2 h_s) = \pi r^2 (h_c + \frac{2}{3}h_s)$
  • $V = \frac{22}{7} \times (1.5)^2 \times (8 + \frac{4}{3}) = 66 \text{ સેમી}^3$.
• જવાબ: $66 \text{ સેમી}^3$.

54) જો નીચે આપેલ આવૃત્તિ વિતરણનો મધ્યસ્થ 28.5 હોય તો $x$ અને $y$ નાં મૂલ્યો શોધો.

• ઉકેલ:
  • $45 + x + y = 60 \implies x + y = 15$ (1).
  • મધ્યસ્થ વર્ગ 20-30. $l=20, h=10, f=20, cf=5+x, \frac{N}{2}=30$.
  • $28.5 = 20 + \left(\frac{30 – (5+x)}{20}\right) \times 10 \implies 8.5 = \frac{25-x}{2} \implies x=8$.
  • $8 + y = 15 \implies y=7$.
• જવાબ: $x=8$ અને $y=7$.