Maths class 10th 18(G) March 2023 exam paper

---

GSEB ધોરણ 10 Basic ગણિત (માર્ચ, 2023) – સંપૂર્ણ ઉકેલ

વિભાગ – A

(પ્રશ્નક્રમાંક: 1 થી 16) (દરેકનો 1 ગુણ)

નીચેના વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો : (પ્રશ્નક્રમાંક 1 થી 4)

1) 17 અને 23 નો ગુ.સા.અ. 1 છે.

• ઉકેલ: 17 અને 23 બંને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, તેથી તેમનો ગુ.સા.અ. (HCF) 1 થાય.
• જવાબ: ખરું

2) $p(x)=x^{2}-7x+10$ નાં શૂન્યોની સંખ્યા ત્રણ છે.

• ઉકેલ: આ દ્વિઘાત બહુપદી છે, તેથી તેને મહત્તમ બે શૂન્યો હોય.
• જવાબ: ખોટું

3) જો $\sin A=1$ હોય તો $A=90^{\circ}$ થાય.

• ઉકેલ: $\sin 90^\circ = 1$ થાય.
• જવાબ: ખરું

4) $\sin A$ અને $\cos A$ નું મૂલ્ય ક્યારેય 1 થી વધારે ન હોય.

• ઉકેલ: $\sin A$ અને $\cos A$ નું મૂલ્ય $[-1, 1]$ ની વચ્ચે હોય છે, તેથી મહત્તમ મૂલ્ય 1 હોય છે.
• જવાબ: ખરું

નીચે આપેલા બહુવિકલ્પી જવાબવાળા પ્રશ્નો માટે સાચો વિકલ્પનો ક્રમ અને જવાબ લખો : (પ્રશ્નક્રમાંક 5 થી 10)

5) જો બે ઘન પૂર્ણાંકો $p$ અને $q$ ને $p=ab^{2}$ અને $q=a^{3}b$ સ્વરૂપમાં દર્શાવીએ, જ્યાં $a$ અને $b$ અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો છે, તો લ.સા.અ. $(p,q)=$

• ઉકેલ: લ.સા.અ. (LCM) માં દરેક અવિભાજ્ય અવયવની મહત્તમ ઘાત લેવાય. $a$ ની મહત્તમ ઘાત $a^3$ અને $b$ ની $b^2$ છે.
• જવાબ: (C) $a^{3}b^{2}$

6) આલેખની રીતે સમીકરણ યુગ્મ $6x-3y+10=0$ અને $2x-y+9=0$ દ્વારા દર્શાવતી બે રેખાઓ ……

• ઉકેલ: ગુણોત્તર ચકાસતા: $\frac{a_1}{a_2} = \frac{6}{2} = 3$, $\frac{b_1}{b_2} = \frac{-3}{-1} = 3$, $\frac{c_1}{c_2} = \frac{10}{9}$.
  • અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \ne \frac{c_1}{c_2}$ હોવાથી રેખાઓ સમાંતર છે.
• જવાબ: (D) સમાંતર છે.

7) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0$, $a\ne0$ નાં બે બીજ ભિન્ન અને વાસ્તવિક હોય.

• ઉકેલ: બીજ ભિન્ન અને વાસ્તવિક હોવા માટે વિવેચક ($D$) ધન હોવો જોઈએ.
• જવાબ: (C) $b^{2}-4ac>0$

8) બિંદુઓ $A(0,6)$ અને B $(0,-2)$ વચ્ચેનું અંતર છે.

• ઉકેલ: બંને બિંદુઓ y-અક્ષ પર છે, તેથી અંતર $D = |6 – (-2)| = |8| = 8$.
• જવાબ: (B) 8

9) ગણિતની પરીક્ષામાં તમને 80 ગુણમાંથી 80 ગુણ મળે તેની સંભાવના …… હોય.

• ઉકેલ: 80 ગુણ મળવાનું પરિણામ 1 છે. કુલ શક્ય ગુણ (પરિણામો) 0 થી 80 એટલે કે 81 છે.
• જવાબ: (C) $\frac{1}{81}$

10) નીચેના આલેખ $y=p(x)$ માટે શૂન્યોની સંખ્યા છે.

• ઉકેલ: આલેખ x-અક્ષને છેદતો ન હોવાથી, શૂન્યોની સંખ્યા 0 છે.
• જવાબ: (D) 0

નીચે આપેલા વિધાનો સાચાં બને તેમ કૌંસમાં આપેલા જવાબમાંથી યોગ્ય જવાબ પસંદ કરી લખો : (પ્રશ્નક્રમાંક 11 થી 16)

11) વર્ગીકૃત માહિતીના ‘થી ઓછા’ અને ‘થી વધુ’ પ્રકારના સંચયી આવૃત્તિ વક્રના છેદબિંદુનો $x$ યામ …… આપે છે.

• જવાબ: મધ્યસ્થ

12) ચોક્કસ ઘટનાની સંભાવના …… હોય છે.

• જવાબ: 1

13) વર્તુળનો સ્પર્શક વર્તુળને …… બિંદુમાં છેદે.

• જવાબ: 1

14) વર્તુળ એ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બધી બાજુઓને સ્પર્શે છે. જો $AB=7$, $BC=3$, $CD=4$ તો $AD=$

• ઉકેલ: સ્પર્શક ચતુષ્કોણ માટે $AB + CD = BC + AD$. $7 + 4 = 3 + AD \implies AD = 8$.
• જવાબ: 8

15) $\theta$ ખૂણાવાળા લઘુ ચાપની લંબાઈ =

• ઉકેલ: ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $L = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r$.
• જવાબ: $\frac{\pi r\theta}{180}$

16) વર્તુળની ત્રિજ્યાનું માપ બમણું કરવાથી તેનું ક્ષેત્રફળ …… ગણું થાય.

• ઉકેલ: નવું ક્ષેત્રફળ $\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$.
• જવાબ: 4

---

વિભાગ – B

(પ્રશ્નક્રમાંક: 17 થી 26) (પ્રત્યેકના 2 ગુણ)

17) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}+2x-8$ નાં શૂન્યો શોધો.

• ઉકેલ:
  • $x^2 + 4x – 2x – 8 = 0$
  • $x(x+4) – 2(x+4) = 0$
  • $(x+4)(x-2) = 0$
• જવાબ: શૂન્યો $-4$ અને $2$ છે.

અથવા

17) $(3x^{2}-x^{3}-3x+5)$ નો $(-x^{2}+x-1)$ વડે ભાગાકાર કરો. ભાગફળ અને શેષફળ લખો.

• ઉકેલ: બહુપદીઓને ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $(-x^3 + 3x^2 – 3x + 5) \div (-x^2 + x – 1)$.
  • ભાગફળ: $x – 2$
  • શેષફળ: $3$
• જવાબ: ભાગફળ $x – 2$ અને શેષફળ $3$ છે.

18) દ્વિઘાત બહુપદીનાં શૂન્યોનો સરવાળો અને શૂન્યોનો ગુણાકાર અનુક્રમે $\frac{1}{4}$ અને $-1$ છે, તો તે પરથી દ્વિઘાત બહુપદી મેળવો.

• ઉકેલ:
  • સરવાળો $S = \frac{1}{4}$, ગુણાકાર $P = -1$.
  • બહુપદી $P(x) = k(x^2 – Sx + P) = k(x^2 – \frac{1}{4}x – 1)$.
  • $k=4$ લેતા: $4x^2 – x – 4$.
• જવાબ: $4x^2 – x – 4$.

19) ત્રણ અંકની કેટલી સંખ્યાઓ 3 વડે વિભાજય હશે?

• ઉકેલ:
  • સૌથી નાની ત્રણ અંકની સંખ્યા જે 3 વડે વિભાજ્ય છે: $a=102$. સૌથી મોટી: $a_n=999$. સામાન્ય તફાવત $d=3$.
  • $a_n = a + (n-1)d \implies 999 = 102 + (n-1)3$
  • $897 = 3(n-1) \implies n-1 = 299 \implies n = 300$.
• જવાબ: 300 સંખ્યાઓ 3 વડે વિભાજ્ય હશે.

20) કિંમત શોધો : $2\tan^{2}45^{\circ} + \cos^{2}30^{\circ}-\sin^{2}60^{\circ}$

• ઉકેલ:
  • $2(1)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 – (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 2 + \frac{3}{4} – \frac{3}{4} = 2$.
• જવાબ: 2.

અથવા

20) જો $3A$ એ લઘુકોણનું માપ હોય તથા $\sin 3A=\cos(A-26^{\circ})$ હોય, તો $A$ ની કિંમત શોધો.

• ઉકેલ:
  • $\sin 3A = \cos(90^\circ – 3A)$.
  • $90^\circ – 3A = A – 26^\circ \implies 4A = 116^\circ \implies A = 29^\circ$.
• જવાબ: $A=29^{\circ}$.

21) બિંદુઓ $P(2,-3)$ અને $Q(10,y)$ વચ્ચેનું અંતર 10 એકમ હોય તો, $y$ ની કિંમત શોધો.

• ઉકેલ:
  • $D^2 = (10-2)^2 + (y – (-3))^2 \implies 100 = 64 + (y+3)^2$
  • $(y+3)^2 = 36 \implies y+3 = \pm 6$.
  • $y = 6-3 = 3$ અથવા $y = -6-3 = -9$.
• જવાબ: $y$ ની કિંમત 3 અથવા -9 છે.

22) 1.5 મી ઊંચાઈવાળી એક નિરીક્ષક એક ચીમનીથી 28.5મી દૂર ઊભેલ છે. ઉત્સેધકોણનું માપ 45° છે. ચીમનીની ઊંચાઈ કેટલી હશે?

• ઉકેલ:
  • $\tan 45^\circ = \frac{\text{ચીમનીની ઊંચાઈ}(\text{આંખથી}) – 1.5}{\text{અંતર}} = 1$.
  • ચીમનીની ઊંચાઈ (આંખથી) $= 28.5$ મીટર.
  • ચીમનીની કુલ ઊંચાઈ $= 28.5 + 1.5 = 30$ મીટર.
• જવાબ: ચીમનીની ઊંચાઈ 30 મીટર હશે.

23) બિંદુ $Q$ માંથી દોરેલા વર્તુળના સ્પર્શકની લંબાઈ 24 સેમી અને $Q$ નું વર્તુળના કેન્દ્રથી તેનું અંતર 25 સેમી હોય, તો વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

• ઉકેલ:
  • ત્રિજ્યા $r$. $r^2 + 24^2 = 25^2 \implies r^2 + 576 = 625 \implies r^2 = 49$.
• જવાબ: વર્તુળની ત્રિજ્યા 7 સેમી છે.

અથવા

23) જો $TP$ અને $TQ$ એ $O$ કેન્દ્રવાળા વર્તુળના સ્પર્શકો હોય અને $\angle POQ=110^{\circ}$ હોય, તો $\angle PTQ$ નું માપ શોધો.

• ઉકેલ: $OPTQ$ ચતુષ્કોણમાં $\angle OPT = \angle OQT = 90^\circ$.
  • $\angle PTQ + \angle POQ = 360^\circ – 180^\circ = 180^\circ$.
  • $\angle PTQ = 180^\circ – 110^\circ = 70^\circ$.
• જવાબ: $\angle PTQ = 70^{\circ}$.

24) જેની પ્રત્યેક ધાર 5 સેમીની હોય તેવા સમઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધો.

• ઉકેલ:
  • કુલ પૃષ્ઠફળ $= 6 \times (\text{બાજુ})^2 = 6 \times (5)^2 = 150$.
• જવાબ: $150 \text{ સેમી}^2$.

અથવા

24) નળાકારની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(A)$, અર્ધ ગોલકની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ $(B)$ હોય, તો ઘન પદાર્થની કુલ સપાટીનું પૃષ્ઠફળ કેટલું થાય?

• ઉકેલ:
  • $A = 2\pi rh$ (નળાકારની વક્રસપાટી). $B = 2\pi r^2$ (એક અર્ધગોલકની વક્રસપાટી).
  • ઘન પદાર્થનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= \text{નળાકારની વક્રસપાટી} + 2 \times \text{અર્ધગોલકની વક્રસપાટી}$
  • $= A + 2B$.
• જવાબ: $A + 2B$ ચોરસ એકમ.

25) કોઈ વર્ગીકૃત માહિતી માટે $a=30$, $\Sigma f_{i}d_{i}=-26$, $\Sigma f_{i}=13$ હોય તો મધ્યક $\overline{X}$ શોધો.

• ઉકેલ:
  • $\overline{X} = a + \frac{\Sigma f_i d_i}{\Sigma f_i} = 30 + \frac{-26}{13} = 30 – 2$.
• જવાબ: મધ્યક $\overline{X} = 28$.

26) એક ડબામાં 3 ભૂરી, 2 સફેદ અને 4 લાલ લખોટી છે. i) સફેદ હોય. ii) લાલ ન હોય તેની સંભાવના શોધો.

• ઉકેલ:
  • કુલ લખોટી $N = 3 + 2 + 4 = 9$.
  • i) $P(\text{સફેદ}) = \frac{2}{9}$.
  • ii) લાલ ન હોય તેવી લખોટી $= 3 + 2 = 5$. $P(\text{લાલ ન હોય}) = \frac{5}{9}$.
• જવાબ: i) $\frac{2}{9}$, ii) $\frac{5}{9}$.

---

વિભાગ – C

(પ્રશ્નક્રમાંક: 27 થી 34) (પ્રત્યેકના 3 ગુણ)

27) સમીકરણ યુગ્મનો લોપની રીતે ઉકેલ શોધો : $2x+3y=46$ અને $3x+5y=74$

• ઉકેલ:
  • (1) ને 3 વડે ગુણતા: $6x + 9y = 138$ (3).
  • (2) ને 2 વડે ગુણતા: $6x + 10y = 148$ (4).
  • (4) માંથી (3) બાદ કરતા: $y = 10$.
  • $2x + 3(10) = 46 \implies 2x = 16 \implies x = 8$.
• જવાબ: $(x, y) = (8, 10)$.

અથવા

27) બે ઘન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો તફાવત 5 છે. અને તેમના વ્યસ્તોનો તફાવત $\frac{1}{10}$ છે, તો તે સંખ્યાઓ શોધો.

• ઉકેલ:
  • સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ ($x>y$). $x – y = 5 \implies x = y+5$.
  • $\frac{1}{y} – \frac{1}{x} = \frac{1}{10} \implies \frac{x-y}{xy} = \frac{1}{10} \implies \frac{5}{y(y+5)} = \frac{1}{10}$.
  • $y^2 + 5y – 50 = 0 \implies (y+10)(y-5) = 0 \implies y=5$.
  • $x = 5+5 = 10$.
• જવાબ: તે સંખ્યાઓ 10 અને 5 છે.

28) દ્વિઘાત સમીકરણનાં બીજનું સ્વરૂપ શોધો અને જો તેને વાસ્તવિક બીજ હોય તો તે શોધો. $2x^{2}-6x+3=0$

• ઉકેલ:
  • વિવેચક $D = (-6)^2 – 4(2)(3) = 36 – 24 = 12$.
  • $D > 0$ હોવાથી બે ભિન્ન અને વાસ્તવિક બીજ મળે.
  • $x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{3}}{2}$.
• જવાબ: બીજનું સ્વરૂપ: ભિન્ન અને વાસ્તવિક. બીજ: $x = \frac{3 + \sqrt{3}}{2}$ અને $x = \frac{3 – \sqrt{3}}{2}$.

અથવા

28) એક ટ્રેન એકધારી ઝડપે 360 કિમી અંતર કાપે છે. જો ઝડપ 5 કિમી/કલાક વધુ હોય, તો 1 કલાક ઓછો સમય લાગે. ટ્રેનની ઝડપ શોધો.

• ઉકેલ: (મૂળ ઝડપ $x$)
  • $\frac{360}{x} – \frac{360}{x+5} = 1 \implies 360(x+5 – x) = x(x+5)$
  • $1800 = x^2 + 5x \implies x^2 + 5x – 1800 = 0$.
  • $(x+45)(x-40) = 0 \implies x = 40 \text{ કિમી/કલાક}$.
• જવાબ: ટ્રેનની ઝડપ 40 કિમી/કલાક છે.

29) 6 વડે વિભાજય પ્રથમ 40 ઘન પૂર્ણાંકોનો સરવાળો શોધો.

• ઉકેલ:
  • સમાંતર શ્રેણી: $6, 12, 18, \dots$. $a=6, d=6, n=40$.
  • $S_{40} = \frac{40}{2} [2(6) + (40-1)6] = 20 (12 + 234) = 20(246) = 4920$.
• જવાબ: સરવાળો 4920 છે.

30) $3,8,13,………,253$ સમાંતર શ્રેણી હોય, તો તેનું છેલ્લેથી 20 મું પદ શોધો.

• ઉકેલ:
  • $d=5$. છેલ્લેથી 20 મું પદ $= a_n – (20-1)d = 253 – 19(5) = 253 – 95$.
• જવાબ: 158.

31) બિંદુઓ $(8,1),(k,-4),(2,-5)$ સમરેખ હોય તો “k” ની કિંમત શોધો.

• ઉકેલ: (ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ 0)
  • $\frac{1}{2}[x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)] = 0$
  • $8(-4 – (-5)) + k(-5 – 1) + 2(1 – (-4)) = 0$
  • $8(1) + k(-6) + 2(5) = 0 \implies 8 – 6k + 10 = 0 \implies 6k = 18$.
• જવાબ: $k=3$.

અથવા

31) બિંદુ $(-4,6)$ એ $A(-6,10)$ અને $B(3,-8)$ ને જોડતા રેખાખંડનું ક્યા ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે?

• ઉકેલ: (ગુણોત્તર $k:1$)
  • $x$-યામ માટે: $-4 = \frac{k(3) + 1(-6)}{k+1} \implies -4k – 4 = 3k – 6 \implies 7k = 2$.
• જવાબ: $2:7$ ગુણોત્તરમાં.

32) પરિવારના ખોરાક પરના દૈનિક ઘરગથ્થું ખર્ચનો મધ્યક યોગ્ય રીતનો ઉપયોગ કરીને શોધો.

| દૈનિક ખર્ચ (₹ માં) | પરિવારોની સંખ્યા ($f_i$) | મધ્યબિંદુ ($x_i$) | $u_i = \frac{x_i – 225}{50}$ | $f_i u_i$ |

| :—: | :—: | :—: | :—: | :—: |

| 100-150 | 4 | 125 | -2 | -8 |

| 150-200 | 5 | 175 | -1 | -5 |

| 200-250 | 12 | 225 ($a$) | 0 | 0 |

| 250-300 | 2 | 275 | 1 | 2 |

| 300-350 | 2 | 325 | 2 | 4 |

| કુલ | $\sum f_i = 25$ | | | $\sum f_i u_i = -7$ |

• ઉકેલ:
  • $\overline{X} = a + h \left(\frac{\Sigma f_i u_i}{\Sigma f_i}\right) = 225 + 50 \left(\frac{-7}{25}\right) = 225 – 14$.
• જવાબ: મધ્યક $\overline{X} = 211$ રૂપિયા છે.

33) પાસાને એકવાર ફેંકવામાં આવે છે તો i) અવિભાજ્ય સંખ્યા. ii) 2 અને 6 વચ્ચેની સંખ્યા. iii) અયુગ્મ સંખ્યા મળવાની સંભાવના શોધો.

• ઉકેલ:
  • કુલ પરિણામો $N=6$.
  • i) અવિભાજ્ય $\{2, 3, 5\}$ (3): $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
  • ii) 2 અને 6 વચ્ચેની સંખ્યા $\{3, 4, 5\}$ (3): $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
  • iii) અયુગ્મ $\{1, 3, 5\}$ (3): $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• જવાબ: i) $\frac{1}{2}$, ii) $\frac{1}{2}$, iii) $\frac{1}{2}$.

34) 52 પત્તાંની થોકડીમાંથી એક પત્તું કાઢવામાં આવે, તો i) લાલ રંગનો રાજા. ii) કાળીનું પત્તું ના હોય. iii) લાલની રાણી. ની સંભાવના શોધો.

• ઉકેલ:
  • i) લાલ રંગના રાજા (ચોકટ અને લાલ) 2 હોય: $P = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$.
  • ii) કાળીના પત્તા 13 હોય. કાળીના પત્તા ન હોય તેવા $= 52 – 13 = 39$: $P = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$.
  • iii) લાલની રાણી (હૃદયની રાણી) 1 હોય: $P = \frac{1}{52}$.
• જવાબ: i) $\frac{1}{26}$, ii) $\frac{3}{4}$, iii) $\frac{1}{52}$.

---

વિભાગ – D

(પ્રશ્નક્રમાંક: 35 થી 39) (પ્રત્યેકના 4 ગુણ)

35) પાયથાગોરસનું પ્રમેય લખો અને સાબિત કરો.

• જવાબ:
  • વિધાન: કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
  • સાબિતી: $\triangle \text{ABC}$ માં $\angle \text{B}=90^\circ$ છે. $\text{BD} \perp \text{AC}$ દોરતા.
  • $\triangle \text{ADB} \sim \triangle \text{ABC} \implies \frac{\text{AB}}{\text{AC}} = \frac{\text{AD}}{\text{AB}} \implies \text{AB}^2 = \text{AD} \cdot \text{AC}$ (1)
  • $\triangle \text{BDC} \sim \triangle \text{ABC} \implies \frac{\text{BC}}{\text{AC}} = \frac{\text{DC}}{\text{BC}} \implies \text{BC}^2 = \text{DC} \cdot \text{AC}$ (2)
  • (1) + (2): $\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \text{AD} \cdot \text{AC} + \text{DC} \cdot \text{AC} = \text{AC}(\text{AD} + \text{DC}) = \text{AC}^2$.
• જવાબ: પાયથાગોરસ પ્રમેય સાબિત થાય છે.

અથવા

35) બે સમરૂપ ત્રિકોણોના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર તેમની અનુરૂપ બાજુઓના ગુણોત્તરના વર્ગ બરાબર હોય છે એમ સાબિત કરો.

• જવાબ: (પ્રમેય 6.6 નું વિધાન અને સાબિતી.)

36) નીચે આપેલ માહિતીનો મધ્યસ્થ 28.5 છે. જેકુલ આવૃત્તિ 60 હોય તો P અને Q ના મૂલ્યો શોધો.

| વર્ગ-અંતરાલ | આવૃત્તિ ($f_i$) | સંચયી આવૃત્તિ ($cf$) |

| :—: | :—: | :—: |

| 0-10 | 5 | 5 |

| 10-20 | P | 5+P |

| 20-30 | 20 | 25+P |

| 30-40 | 15 | 40+P |

| 40-50 | Q | 40+P+Q |

| 50-60 | 5 | 45+P+Q |

| કુલ | 60 | |

• ઉકેલ:
  • $45 + P + Q = 60 \implies P + Q = 15$ (I).
  • મધ્યસ્થ $M=28.5$ હોવાથી મધ્યસ્થ વર્ગ 20-30 છે. $l=20, h=10, f=20, cf=5+P, \frac{N}{2}=30$.
  • $M = l + \left(\frac{\frac{N}{2} – cf}{f}\right) \times h \implies 28.5 = 20 + \left(\frac{30 – (5+P)}{20}\right) \times 10$
  • $8.5 = \frac{25 – P}{2} \implies 17 = 25 – P \implies P = 8$.
  • (I) માં મુકતા: $8 + Q = 15 \implies Q = 7$.
• જવાબ: $P=8$ અને $Q=7$.

37) $BC=6$ સેમી, $AB=5$ સેમી અને $\angle ABC=60^{\circ}$ હોય તેવા $\triangle ABC$ ની અનુરૂપ બાજુઓને $\frac{3}{4}$ પ્રમાણમાં હોય તેવી બાજુવાળા ત્રિકોણની રચના કરો. અને રચનાના મુદ્દા લખો.

• જવાબ: (ત્રિકોણની રચના (પ્રમાણ $\frac{3}{4}$) અને તેના મુદ્દાઓ.)

અથવા

37) 4 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળને સમકેન્દ્રી બીજા 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પરના બિંદુમાંથી પ્રથમ વર્તુળના સ્પર્શકની રચના કરો અને તેની લંબાઈ માપો. તથા રચનાના મુદ્દા લખો.

• ઉકેલ:
  • સ્પર્શકની લંબાઈ $=\sqrt{(\text{બહારના વર્તુળની ત્રિજ્યા})^2 – (\text{અંદરના વર્તુળની ત્રિજ્યા})^2} = \sqrt{6^2 – 4^2} = \sqrt{20}$.
• જવાબ: (સ્પર્શકની રચના અને તેના મુદ્દાઓ.) સ્પર્શકની લંબાઈ $\sqrt{20} \approx 4.47$ સેમી.

38) પરિવારના સભ્યોની સંખ્યા માટે નીચેનું આવૃત્તિ કોષ્ટક બન્યું તો આ માહિતીનો બહુલક શોધો.

| પરિવારના સભ્યોની સંખ્યા | પરિવારોની સંખ્યા ($f_i$) |

| :—: | :—: |

| 1-3 | 7 |

| 3-5 | 8 |

| 5-7 | 2 |

| 7-9 | 2 |

| 9-11 | 1 |

• ઉકેલ:
  • મહત્તમ આવૃત્તિ 8 છે, તેથી બહુલકીય વર્ગ 3-5 છે. $l=3, h=2, f_1=8, f_0=7, f_2=2$.
  • બહુલક $Z = l + \left(\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times h = 3 + \left(\frac{8 – 7}{2(8) – 7 – 2}\right) \times 2 = 3 + \frac{2}{7}$.
  • $Z \approx 3 + 0.2857$.
• જવાબ: બહુલક આશરે $3.29$.

39) 4.2 સેમી ત્રિજ્યાવાળા ધાતુના ગોલકને ઓગાળીને 6 સેમી ત્રિજ્યાવાળા નળાકાર સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે છે. નળાકારની ઊંચાઈ શોધો.

• ઉકેલ:
  • ગોલકનું ઘનફળ = નળાકારનું ઘનફળ
  • $\frac{4}{3}\pi (4.2)^3 = \pi (6)^2 h \implies h = \frac{4}{3} \times \frac{4.2 \times 4.2 \times 4.2}{36}$
  • $h = 2.744 \text{ સેમી}$.
• જવાબ: નળાકારની ઊંચાઈ $2.744$ સેમી છે.

અથવા

39) લાકડાના નળાકારમાંથી બંને બાજુએથી અર્ધગોલક કાઢીને શો-પીસ બનાવ્યો છે. નળાકારની ઊંચાઈ 10 સેમી અને ત્રિજ્યા 3.5 સેમી હોય તો શો–પીસનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધો.

• ઉકેલ:
  • શો-પીસનું કુલ પૃષ્ઠફળ $= \text{નળાકારની વક્રસપાટી} + 2 \times \text{અર્ધગોલકની વક્રસપાટી}$
  • $= 2\pi r h + 2(2\pi r^2) = 2\pi r (h + 2r)$
  • $= 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times (10 + 2(3.5)) = 22 \times 17 = 374$.
• જવાબ: શો-પીસનું કુલ પૃષ્ઠફળ $374 \text{ સેમી}^2$ છે.