Maths class 10th board exam paper 2024 gujarati 18(G)

Maths class 10th 18(G) March 2024 Exam paper

GSEB ધોરણ 10 બેઝિક ગણિત (માર્ચ, 2024) – સંપૂર્ણ ઉકેલ

વિભાગ – A

(પ્રશ્નક્રમાંક: 1 થી 24) (દરેક સાચા ઉત્તરનો 1 ગુણ)

નીચે આપેલા બહુવિકલ્પ જવાબવાળા પ્રશ્નો માટે સાચા વિકલ્પનો ક્રમ અને જવાબ લખો. (પ્રશ્નક્રમાંક : 1 થી 6)

1) દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મમાં $\frac{a_{1}}{a_{2}}\ne\frac{b_{1}}{b_{2}}$ હોય, તો તેના ઉકેલ …… હોય છે.

ઉકેલ: જો $\frac{a_{1}}{a_{2}}\ne\frac{b_{1}}{b_{2}}$ હોય, તો રેખાઓ એકબીજાને છેદે છે અને અનન્ય (એક) ઉકેલ મળે છે.
જવાબ: (A) એક

2) જો …… થાય તો દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^{2}+bx+c=0,(a\ne0)$ ના બે બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય.

ઉકેલ: દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ સમાન અને વાસ્તવિક હોય તે માટે વિવેચક ($D$) નું મૂલ્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ.
જવાબ: (B) $b^{2}-4ac=0$

3) કોઈ સમાંતર શ્રેણી 4, 10, 16, 22, … માટે સામાન્ય તફાવત (d) …… છે.

ઉકેલ: સામાન્ય તફાવત $d = a_2 – a_1 = 10 – 4 = 6$.
જવાબ: (C) 6

4) બિંદુઓ (0, 5) અને (–5, 0) વચ્ચેનું અંતર …… છે.

ઉકેલ: અંતર $D = \sqrt{(-5-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
જવાબ: (B) $5\sqrt{2}$

5) $sec^{2}\theta-tan^{2}\theta=$ ……

ઉકેલ: નિત્યસમ મુજબ, $\sec^2\theta – \tan^2\theta = 1$.
જવાબ: (B) 1

6) કોઈ માહિતી માટે $\overline{X}=25$ અને $Z=25$ તો $M=$ ……

ઉકેલ: મધ્યક, મધ્યસ્થ અને બહુલક વચ્ચેનો સંબંધ (સૂત્ર) $Z \approx 3M – 2\overline{X}$ છે. જો $\overline{X}=Z$ હોય, તો $Z = 3M – 2Z \implies 3Z = 3M \implies M=Z$.
જવાબ: (A) 25

નીચે આપેલા વિધાનો સાચા બને તેમ કૌસમાં આપેલા જવાબમાંથી યોગ્ય જવાબ પસંદ કરી લખો. (પ્રશ્નક્રમાંક : 7 થી 12)

7) $3+2\sqrt{5}$ એ …… (સંમેય/અસંમેય) સંખ્યા છે.

ઉકેલ: $\sqrt{5}$ અસંમેય સંખ્યા છે, તેથી $3+2\sqrt{5}$ પણ અસંમેય સંખ્યા છે.
જવાબ: અસંમેય

8) દ્વિઘાત બહુપદી $4x^{2}-3x-7$ ના શૂન્યોનો સરવાળો …… છે.

ઉકેલ: શૂન્યોનો સરવાળો $= -\frac{b}{a} = -\frac{(-3)}{4} = \frac{3}{4}$.
જવાબ: $\frac{3}{4}$

9) એક સિક્કાને ત્રણ વખત ઉછાળતાં મળતા શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા …… છે.

ઉકેલ: શક્ય કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 2^n = 2^3 = 8$.
જવાબ: 8

10) $tan~\theta\cdot cot~\theta=$ ……

ઉકેલ: $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$. તેથી $\tan\theta \cdot \cot\theta = \tan\theta \cdot \frac{1}{\tan\theta} = 1$.
જવાબ: 1

11) વર્તુળને વધુમાં વધુ …… સમાંતર સ્પર્શક હોઈ શકે.

ઉકેલ: વર્તુળના વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ પર દોરેલા સ્પર્શકો સમાંતર હોય છે, તેથી મહત્તમ 2 સમાંતર સ્પર્શક હોઈ શકે.
જવાબ: 2

12) -2, -3, 0, 1, 3, 2, 7 નો મધ્યસ્થ …… છે.

ઉકેલ: ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $-3, -2, 0, 1, 2, 3, 7$. મધ્યનું પદ (7 પદોમાં 4 મું પદ) 1 છે.
જવાબ: 1

નીચે આપેલા વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો. (પ્રશ્નક્રમાંક : 13 થી 16)

13) 17, 23 અને 29 નો ગુ.સા.અ. 1 છે.

ઉકેલ: આ ત્રણેય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે, તેથી તેમનો ગુ.સા.અ. 1 થાય.
જવાબ: ખરું

14) આકૃતિમાં કોઈ બહુપદી $y=p(x)$ નો આલેખ આપેલ છે. આ કિસ્સામાં $p(x)$ ના શૂન્યોની સંખ્યા 2 છે. (આકૃતિમાં આલેખ x-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં સ્પર્શે છે તેવું ધારીને)

ઉકેલ: જો આલેખ x-અક્ષને માત્ર એક જ બિંદુમાં સ્પર્શે (અથવા છેદે), તો શૂન્યોની સંખ્યા 1 હોય.
જવાબ: ખોટું

15) દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મ $2x+3y=12$ અને $3x+2y=18$ હોય તો $x+y=5$ થાય.

ઉકેલ: બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતાં: $5x+5y = 30 \implies x+y = 6$. તેથી વિધાન ખોટું છે.
જવાબ: ખોટું

16) અશક્ય ઘટનાની સંભાવના શૂન્ય (0) છે.

ઉકેલ: અશક્ય ઘટનાની સંભાવના હંમેશા 0 હોય છે.
જવાબ: ખરું

નીચેના પ્રશ્નોના એક વાક્યમાં, શબ્દમાં કે અંકમાં જવાબ આપો. (પ્રશ્નક્રમાંક: 17 થી 20)

17) $a, 2a, 3a, 4a, …$ સમાંતર શ્રેણી છે નહિ?

ઉકેલ: સામાન્ય તફાવત $d = 2a-a = a$, $3a-2a=a$. તફાવત સમાન હોવાથી તે સમાંતર શ્રેણી છે.
જવાબ: હા

18) વર્તુળની અંદર આવેલા બિંદુમાંથી વર્તુળને કેટલા સ્પર્શક મળે?

ઉકેલ: વર્તુળની અંદરના બિંદુમાંથી એક પણ સ્પર્શક દોરી શકાતો નથી.
જવાબ: શૂન્ય (0)

19) પાસાને એક વખત ઉછાળતાં 6 નો અંક ન મળે તેની સંભાવના કેટલી?

ઉકેલ: કુલ પરિણામો 6. 6 નો અંક ન મળે તેવા પરિણામો $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ (5 પરિણામો). સંભાવના $=\frac{5}{6}$.
જવાબ: $\frac{5}{6}$

20) પ્રથમ 11 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો મધ્યક શોધો.

ઉકેલ: પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો મધ્યક $\frac{n+1}{2}$. $\frac{11+1}{2} = 6$.
જવાબ: 6

નીચે આપેલ યોગ્ય જોડકાં જોડો : (પ્રશ્નક્રમાંક: 21 થી 24)

21) અર્ધગોલકના વર્તુળાકાર આધારનું ક્ષેત્રફળ

જવાબ: (b) $\pi r^{2}$

22) 5 રૂપિયાના સિક્કાનું ઘનફળ

ઉકેલ: 5 રૂપિયાનો સિક્કો નળાકાર આકારનો હોય છે.
જવાબ: (c) $\pi r^{2}h$

23) $\theta$ ખૂણાવાળા વૃત્તાંશના ચાપની લંબાઈ

ઉકેલ: ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $L = \frac{\theta}{360} \times 2\pi r = \frac{\pi r\theta}{180}$.
જવાબ: (c) $\frac{\pi r\theta}{180}$

24) વર્તુળનો પરિધ

જવાબ: $2\pi r$

વિભાગ – B

(પ્રશ્નક્રમાંક : 25 થી 37) (કોઈપણ 9 પ્રશ્નોના ગણતરી કરી જવાબ આપો)

25) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}+7x+10$ નાં શૂન્યો શોધો.

ઉકેલ:
- $x^{2}+7x+10 = 0$
- $x^{2}+5x+2x+10 = 0$
- $x(x+5) + 2(x+5) = 0$
- $(x+5)(x+2) = 0 \implies x=-5$ અથવા $x=-2$.
જવાબ: બહુપદીના શૂન્યો $-5$ અને $-2$ છે.

27) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^{2}-3x-10=0$ નો અવયવીકરણની રીતથી ઉકેલ શોધો.

ઉકેલ:
- $x^{2}-5x+2x-10 = 0$
- $x(x-5) + 2(x-5) = 0$
- $(x-5)(x+2) = 0 \implies x=5$ અથવા $x=-2$.
જવાબ: સમીકરણનો ઉકેલ $x=5$ અને $x=-2$ છે.

28) સમાંતર શ્રેણી $2,7,12,….$ નું 10 મું પદ શોધો.

ઉકેલ:
- $a=2$, $d = 5$, $n=10$.
- $a_{10} = a + (n-1)d = 2 + (10-1)5 = 2 + 45 = 47$.
જવાબ: 10 મું પદ 47 છે.

29) પ્રથમ 1000 ઘન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સરવાળો શોધો.

ઉકેલ:
- $n=1000$, $a=1$, $l=1000$.
- $S_{1000} = \frac{1000}{2}(1+1000) = 500(1001) = 500500$.
જવાબ: સરવાળો 500500 છે.

30) બિંદુઓ (2, 3) અને (4, 1) વચ્ચેનું અંતર શોધો.

ઉકેલ:
- $D = \sqrt{(4-2)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
જવાબ: અંતર $2\sqrt{2}$ એકમ છે.

31) બિંદુઓ $P(2,-3)$ અને $Q(10,y)$ વચ્ચેનું અંતર 10 એકમ હોય તો, $y$ ની કિંમત શોધો.

ઉકેલ:
- $D^2 = (10-2)^2 + (y+3)^2 \implies 100 = 64 + (y+3)^2$
- $(y+3)^2 = 36 \implies y+3 = \pm 6$
- $y = 6-3 = 3$ અથવા $y = -6-3 = -9$.
જવાબ: $y$ ની કિંમત 3 અથવા -9 છે.

32) $sin~\theta=\frac{4}{5}$ તો $cos~\theta$ અને $tan~\theta$ ની કિંમત શોધો.

ઉકેલ:
- $\text{પાસેની બાજુ} = \sqrt{5^2 – 4^2} = 3$.
- $\cos\theta = \frac{3}{5}$ અને $\tan\theta = \frac{4}{3}$.
જવાબ: $\cos\theta = \frac{3}{5}$ અને $\tan\theta = \frac{4}{3}$ છે.

33) કિંમત શોધો: $sin~60^{\circ}cos~30^{\circ}+sin~30^{\circ}cos~60^{\circ}$

ઉકેલ:
- $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1$.
જવાબ: કિંમત 1 છે.

34) જમીન પર એક ટાવર શિરોલંબ સ્થિતિમાં છે. ટાવરના પાયાથી 15 મીટર દૂર આવેલા જમીન પરના એક બિંદુએથી ટાવરના ટોચના ઉત્સેધકોણનું માપ $60^{\circ}$ છે, તો ટાવરની ઊંચાઈ શોધો.

ઉકેલ:
- $\text{ટાવરની ઊંચાઈ } h$. $\text{અંતર } 15 \text{ મીટર}$.
- $\tan 60^{\circ} = \frac{h}{15} \implies \sqrt{3} = \frac{h}{15}$
- $h = 15\sqrt{3}$ મીટર.
જવાબ: ટાવરની ઊંચાઈ $15\sqrt{3}$ મીટર છે.

35) $sin(A-B)=\frac{1}{2}$ અને $cos(A+B)=\frac{1}{2}$, $0^{\circ} < A+B \le 90^{\circ}$ અને $A > B$ હોય તો $A$ અને $B$ શોધો.

ઉકેલ:
- $A-B = 30^{\circ}$ (1) અને $A+B = 60^{\circ}$ (2)
- (1) + (2): $2A = 90^{\circ} \implies A = 45^{\circ}$
- $45^{\circ} + B = 60^{\circ} \implies B = 15^{\circ}$
જવાબ: $A = 45^{\circ}$ અને $B = 15^{\circ}$ છે.

36) એક વર્તુળના ચતુર્થાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધો, જેનો પરિઘ 22 સે.મી. છે.

ઉકેલ:
- $2\pi r = 22 \implies 2 \times \frac{22}{7} \times r = 22 \implies r = \frac{7}{2} \text{ સે.મી.}$
- ચતુર્થાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times \left(\frac{7}{2}\right)^2 = \frac{77}{8} = 9.625 \text{ સે.મી.}^2$
જવાબ: ચતુર્થાંશનું ક્ષેત્રફળ $9.625 \text{ સે.મી.}^2$ છે.

37) એક પાસાને એક વખત ફેંકવામાં આવે છે. i) અવિભાજ્ય સંખ્યા ii) યુગ્મ સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના શોધો.

ઉકેલ:
- કુલ પરિણામો $N=6$.
- i) અવિભાજ્ય સંખ્યા $\{2, 3, 5\}$ (3 પરિણામો). સંભાવના $=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
- ii) યુગ્મ સંખ્યા $\{2, 4, 6\}$ (3 પરિણામો). સંભાવના $=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
જવાબ: i) $\frac{1}{2}$ અને ii) $\frac{1}{2}$ છે.

વિભાગ – C

(પ્રશ્નક્રમાંક: 38 થી 46) (કોઈપણ 6 પ્રશ્નોના ગણતરી કરી જવાબ આપો)

38) દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ આદેશની રીતે મેળવો: $2x+3y=11$ અને $2x-4y=-24$

ઉકેલ:
- $2x = 11 – 3y$. આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
- $(11-3y) – 4y = -24 \implies 11 – 7y = -24 \implies 7y = 35 \implies y = 5$.
- $y=5$ મુકતા: $2x = 11 – 3(5) = -4 \implies x = -2$.
જવાબ: ઉકેલ $(x, y) = (-2, 5)$ છે.

39) દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ લોપની રીતે મેળવો: $3x-5y-4=0$ અને $9x=2y+7$

ઉકેલ:
- $3x-5y = 4$ (1), $9x-2y = 7$ (2).
- (1) ને 3 વડે ગુણતા: $9x – 15y = 12$ (3).
- (3) માંથી (2) બાદ કરતા: $(9x-15y) – (9x-2y) = 12-7 \implies -13y = 5 \implies y = -\frac{5}{13}$.
- $y$ ની કિંમત મુકતા: $3x – 5(-\frac{5}{13}) = 4 \implies 3x = 4 – \frac{25}{13} = \frac{27}{13} \implies x = \frac{9}{13}$.
જવાબ: ઉકેલ $(x, y) = (\frac{9}{13}, -\frac{5}{13})$ છે.

40) 7 વડે વિભાજય પ્રથમ 40 ઘન પૂર્ણાંકોનો સરવાળો શોધો.

ઉકેલ:
- $a=7$, $d=7$, $n=40$. $a_{40} = 7 \times 40 = 280$.
- $S_{40} = \frac{40}{2}(7 + 280) = 20(287) = 5740$.
જવાબ: સરવાળો 5740 છે.

41) $AB$ વર્તુળનો વ્યાસ છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2,-3)$ છે અને $B(1,4)$ છે તો બિંદુ $A$ ના યામ શોધો.

ઉકેલ:
- $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A=(x, y)$.
- $2 = \frac{x+1}{2} \implies x=3$.
- $-3 = \frac{y+4}{2} \implies y=-10$.
જવાબ: બિંદુ $A$ ના યામ $(3, -10)$ છે.

42) બિંદુઓ $(4,-1)$ અને $(-2,-3)$ ને જોડતા રેખાખંડનાં ત્રિભાગ બિંદુઓના યામ મેળવો.

ઉકેલ:
- $A=(4, -1), B=(-2, -3)$.
- $P$ ($1:2$ ગુણોત્તર): $P = \left(\frac{1(-2) + 2(4)}{3}, \frac{1(-3) + 2(-1)}{3}\right) = \left(2, -\frac{5}{3}\right)$.
- $Q$ ($2:1$ ગુણોત્તર): $Q = \left(\frac{2(-2) + 1(4)}{3}, \frac{2(-3) + 1(-1)}{3}\right) = \left(0, -\frac{7}{3}\right)$.
જવાબ: ત્રિભાગ બિંદુઓના યામ $(2, -\frac{5}{3})$ અને $(0, -\frac{7}{3})$ છે.

43) સાબિત કરો કે વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે. (પ્રમેય 10.2)

ઉકેલ:
- $\triangle \text{OQP}$ અને $\triangle \text{ORP}$ માં $\text{OQ}=\text{OR}$ (ત્રિજ્યા), $\text{OP}=\text{OP}$ (સામાન્ય બાજુ) અને $\angle \text{OQP} = \angle \text{ORP} = 90^\circ$ (પ્રમેય 10.1).
- RHS શરત મુજબ $\triangle \text{OQP} \cong \triangle \text{ORP}$.
- તેથી, $\text{PQ} = \text{PR}$ (CPCT).
જવાબ: પ્રમેય સાબિત થાય છે.

44) એક વર્તુળના કેન્દ્રથી 5 સેમી દૂર આવેલ બિંદુ A માંથી દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ 4 સેમી છે, તો વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધો.

ઉકેલ:
- પાયથાગોરસ પ્રમેય: $\text{ત્રિજ્યા}^2 + \text{સ્પર્શક}^2 = \text{કેન્દ્રથી અંતર}^2$
- $r^2 + 4^2 = 5^2 \implies r^2 = 25 – 16 = 9 \implies r = 3 \text{ સે.મી.}$
જવાબ: વર્તુળની ત્રિજ્યા 3 સે.મી. છે.

45) $10 \text{ સેમી}$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળની જીવા વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ $90^{\circ}$ નો ખૂણો આતરે છે, તો લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ શોધો. $(\pi=3.14)$

ઉકેલ:
- લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ = વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ – ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ.
- વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{90}{360} \times 3.14 \times 10^2 = 78.5 \text{ સે.મી}^2$.
- ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 10 \times 10 = 50 \text{ સે.મી}^2$.
- લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ $= 78.5 – 50 = 28.5 \text{ સે.મી}^2$.
જવાબ: લઘુવૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ $28.5 \text{ સે.મી}^2$ છે.

46) એક ગલ્લામાં 50 પૈસાના સો સિક્કા, ₹1 ના પચાસ સિક્કા, ₹2 ના વીસ સિક્કા અને ₹ 5 ના દસ સિક્કા છે. i) 50 પૈસાનો સિક્કો હોય ii) ₹ 5 નો સિક્કો ન હોય તેની સંભાવના શોધો.

ઉકેલ:
- કુલ સિક્કા $N = 100 + 50 + 20 + 10 = 180$.
- i) $P(\text{50 પૈસા}) = \frac{100}{180} = \frac{5}{9}$.
- ii) ₹ 5 ના સિક્કા ન હોય તેવા સિક્કા $= 180 – 10 = 170$. $P(\text{₹ 5 ન હોય}) = \frac{170}{180} = \frac{17}{18}$.
જવાબ: i) $\frac{5}{9}$ અને ii) $\frac{17}{18}$.

વિભાગ – D

(પ્રશ્નક્રમાંક : 47 થી 54) (કોઈપણ 5 પ્રશ્નોના માગ્યા મુજબ ગણતરી કરી જવાબ આપો)

47) પાયથાગોરસ પ્રમેય લખો અને સાબિત કરો. (પ્રમેય 6.8)

ઉકેલ:
- વિધાન: કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણનો વર્ગ બાકીની બે બાજુઓના વર્ગોના સરવાળા જેટલો હોય છે.
- $\triangle \text{ABC}$ માં $\angle \text{B}=90^\circ$ અને $\text{BD} \perp \text{AC}$ દોરતા:
- $\triangle \text{ADB} \sim \triangle \text{ABC} \implies \text{AD} \cdot \text{AC} = \text{AB}^2 \dots (1)$
- $\triangle \text{BDC} \sim \triangle \text{ABC} \implies \text{DC} \cdot \text{AC} = \text{BC}^2 \dots (2)$
- (1) + (2): $\text{AB}^2 + \text{BC}^2 = \text{AC}(\text{AD} + \text{DC}) = \text{AC}(\text{AC}) = \text{AC}^2$.
જવાબ: પાયથાગોરસ પ્રમેય સાબિત થાય છે.

48) 90 સે.મી. ઊંચાઈવાળી એક છોકરી વીજળીના થાંભલાના તળીયેથી 1.2 મી/સે ની ઝડપથી દૂર જઈ રહી છે. જો વીજળીનો ગોળો જમીનના સમતલથી 3.6 મીટર ઊંચે હોય તો 4 સેકન્ડ પછી તેના પડછાયાની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ:
- $\text{અંતર } \text{BD} = 1.2 \times 4 = 4.8 \text{ m}$. $\text{થાંભલો } \text{AB}=3.6 \text{ m}$. $\text{છોકરી } \text{CD}=0.9 \text{ m}$.
- $\triangle \text{ABE} \sim \triangle \text{CDE}$ પરથી: $\frac{\text{AB}}{\text{CD}} = \frac{\text{BE}}{\text{DE}} \implies \frac{3.6}{0.9} = \frac{4.8 + x}{x}$
- $4 = \frac{4.8 + x}{x} \implies 4x = 4.8 + x \implies 3x = 4.8 \implies x = 1.6 \text{ m}$.
જવાબ: પડછાયાની લંબાઈ $1.6$ મીટર છે.

49) એક કાટકોણ ત્રિકોણનો વેધ તેના પાયા કરતાં 7 સે. મી. નાનો છે જો કર્ણની લંબાઈ 13 સે.મી. હોય, તો બાકીની બે બાજુનાં માપ શોધો.

ઉકેલ:
- પાયો $x$, વેધ $x-7$, કર્ણ $13$.
- $x^2 + (x-7)^2 = 13^2 \implies 2x^2 – 14x – 120 = 0 \implies x^2 – 7x – 60 = 0$.
- $(x-12)(x+5) = 0 \implies x=12$.
- પાયો $12 \text{ સે.મી.}$, વેધ $12-7 = 5 \text{ સે.મી.}$
જવાબ: બાકીની બે બાજુઓનાં માપ 12 સે.મી. અને 5 સે.મી. છે.

50) ટીવી સેટના ઉત્પાદકે ત્રીજા વર્ષે 600 ટીવી અને 7 મા વર્ષે 700 ટીવી બનાવ્યાં છે… i) પ્રથમ વર્ષનું ઉત્પાદન ii) 10 મા વર્ષનું ઉત્પાદન iii) પ્રથમ 7 વર્ષમાં કુલ ઉત્પાદિત ટીવીની સંખ્યા શોધો.

ઉકેલ:
- $a_7 – a_3 = 4d \implies 700 – 600 = 100 \implies d = 25$.
- $a_3 = a + 2d \implies 600 = a + 50 \implies a = 550$.
- i) પ્રથમ વર્ષનું ઉત્પાદન $a = 550$.
- ii) $a_{10} = a + 9d = 550 + 9(25) = 775$.
- iii) $S_7 = \frac{7}{2}(a+a_7) = \frac{7}{2}(550+700) = 4375$.
જવાબ: i) 550 ટીવી, ii) 775 ટીવી, iii) 4375 ટીવી.

51) નીચેનું કોષ્ટક એક વિસ્તારમાં 25 પરિવારના ખોરાકનો દૈનિક ઘરગથ્થું ખર્ચ બતાવે છે. પરિવારના ખોરાક પરના દૈનિક ઘરગથ્થું ખર્ચનો મધ્યક યોગ્ય રીતનો ઉપયોગ કરીને શોધો.

ઉકેલ (પ્રત્યક્ષ રીત):| દૈનિક ખર્ચ (₹ માં) | $f_i$ | $x_i$ | $f_i x_i$ || :—: | :—: | :—: | :—: || 100-150 | 4 | 125 | 500 || 150-200 | 5 | 175 | 875 || 200-250 | 12 | 225 | 2700 || 250-300 | 2 | 275 | 550 || 300-350 | 2 | 325 | 650 || કુલ | $\sum f_i = 25$ | | $\sum f_i x_i = 5275$ |
- મધ્યક $\overline{X} = \frac{5275}{25} = 211$.
જવાબ: દૈનિક ઘરગથ્થું ખર્ચનો મધ્યક ₹ 211 છે.

52) જે નીચે આપેલ આવૃત્તિ વિતરણનો મધ્યસ્થ 28.5 હોય તો $x$ અને $y$ નાં મૂલ્યો શોધો.

ઉકેલ:
- $\sum f_i = 60 \implies 45 + x + y = 60 \implies x + y = 15$ (I).
- મધ્યસ્થ વર્ગ 20-30. $l=20, h=10, f=20, cf=5+x, \frac{N}{2}=30$.
- $M = l + \left(\frac{\frac{N}{2} – cf}{f}\right) \times h \implies 28.5 = 20 + \left(\frac{30 – (5+x)}{20}\right) \times 10$
- $8.5 = \frac{25 – x}{2} \implies 17 = 25 – x \implies x = 8$.
- $x=8$ ને (I) માં મુકતા: $8 + y = 15 \implies y = 7$.
જવાબ: $x$ નું મૂલ્ય 8 અને $y$ નું મૂલ્ય 7 છે.

53) 5 સે.મી. ત્રિજ્યાવાળું એક વર્તુળ દોરો. તેના કેન્દ્રથી 8 સે.મી. દૂર આવેલા બિંદુ P માંથી વર્તુળને સ્પર્શકો દોરો અને તેની લંબાઈ માપો. (રચના)

ઉકેલ:
- (આ રચનાના પગલાં છે. અંતે સ્પર્શકની લંબાઈ ચકાસણી નીચે મુજબ છે).
- પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ: $\text{PA} = \sqrt{\text{OP}^2 – \text{OA}^2} = \sqrt{8^2 – 5^2} = \sqrt{39}$.
- $\sqrt{39} \approx 6.25 \text{ સે.મી.}$
જવાબ: સ્પર્શકોની લંબાઈ માપતા તે આશરે $6.25 \text{ સે.મી.}$ મળે છે.

54) તકની એક રમતમાં ગોળ ફરતું એક તીર (arrow) હોય છે. તે 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 માંથી કોઈ એક સંખ્યા પાસે નિર્દેશ કરતું અટકે છે… સંભાવના શોધો.

ઉકેલ:
- $N=8$.
- i) 8 તરફ નિર્દેશ કરે: $P(8) = \frac{1}{8}$.
- ii) અયુગ્મ સંખ્યા $\{1, 3, 5, 7\}$ (4 પરિણામો): $P(\text{અયુગ્મ}) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
- iii) 2 કરતાં મોટી સંખ્યા $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ (6 પરિણામો): $P(>2) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.
- iv) 9 કરતાં નાની સંખ્યા $\{1, 2, \dots, 8\}$ (8 પરિણામો): $P(<9) = \frac{8}{8} = 1$.
જવાબ: i) $\frac{1}{8}$, ii) $\frac{1}{2}$, iii) $\frac{3}{4}$, iv) 1.

gunjo.in