๐ เชตเชฟเชญเชพเช – A (เชเซเชฃ: 24)
เชธเซเชเชจเชพ เชฎเซเชเชฌ เชเชตเชพเชฌ เชเชชเซ: (เชชเซเชฐเชถเซเชจเชเซเชฐเชฎเชพเชเช: 1 เชฅเซ 24) (เชฆเชฐเซเช เชธเชพเชเชพ เชเชคเซเชคเชฐเชจเซ 1 เชเซเชฃ)
เชจเซเชเซ เชเชชเซเชฒเชพ เชฌเชนเซเชตเชฟเชเชฒเซเชช เชเชตเชพเชฌเชตเชพเชณเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเซ เชฎเชพเชเซ เชธเชพเชเชพ เชตเชฟเชเชฒเซเชชเชจเซ เชเซเชฐเชฎ เช เชจเซ เชเชตเชพเชฌ เชฒเชเซ. (เชชเซเชฐเชถเซเชจเชเซเชฐเชฎเชพเชเช: 1 เชฅเซ 6)
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซง เชเซ เชเซ.เชธเชพ.เช . (96, $k$) = 4 เช เชจเซ เชฒ.เชธเชพ.เช . (96, $k$) = 9696 เชนเซเชฏ เชคเซ $k$ = ______
(A) 96
(B) 440
(C) 404
(D) 4
เชเชตเชพเชฌ: (C) 404
เชเชเซเชฒ:
เชเชชเชฃเซ เชเชพเชฃเซเช เชเซเช เชเซ เชฌเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเช $a$ เช เชจเซ $b$ เชฎเชพเชเซ:
$$\text{เชเซ.เชธเชพ.เช .} \times \text{เชฒ.เชธเชพ.เช .} = a \times b$$
เช เชนเซเช, $a = 96$ เช เชจเซ $b = k$ เชเซ.
$$4 \times 9696 = 96 \times k$$
$$k = \frac{4 \times 9696}{96}$$
$$k = \frac{38784}{96}$$
$$k = 404$$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซจ เชฆเซเชตเชฟเชเชพเชค เชฌเชนเซเชชเชฆเซ $6x^2 – 3 – 7x$ เชจเชพ เชถเซเชจเซเชฏเซ $\alpha$ เช เชจเซ $\beta$ เชนเซเชฏ เชคเซ $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \_\_\_\_\_\_$
(A) $-\frac{7}{3}$
(B) $\frac{3}{6}$
(C) $-\frac{7}{6}$
(D) 2
เชเชตเชพเชฌ: (A) $-\frac{7}{3}$
เชเชเซเชฒ:
เชธเซ เชชเซเชฐเชฅเชฎ, เชฌเชนเซเชชเชฆเซเชจเซ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเชฟเชค เชธเซเชตเชฐเซเชชเชฎเชพเช เชฒเชเซเช: $6x^2 – 7x – 3$
เช เชนเซเช, $a = 6$, $b = -7$, $c = -3$.
เชเชชเชฃเซ เชเชฟเชเชฎเชค เชถเซเชงเชตเชพเชจเซ เชเซ: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta}$
เชถเซเชจเซเชฏเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ ($\alpha + \beta$) = $-\frac{b}{a} = -\frac{(-7)}{6} = \frac{7}{6}$
เชถเซเชจเซเชฏเซเชจเซ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ ($\alpha\beta$) = $\frac{c}{a} = \frac{-3}{6}$
เชนเชตเซ, เชธเซเชคเซเชฐเชฎเชพเช เชเชฟเชเชฎเชค เชฎเซเชเชคเชพ:
$$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\frac{7}{6}}{-\frac{3}{6}}$$
$$= \frac{7}{6} \times \frac{6}{-3}$$
$$= \frac{7}{-3}$$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซฉ เชเซ $27x + 63y = 45$ เช เชจเซ $63x + 27y = 135$ เชนเซเชฏ เชคเซ $x + y =$ ______
(A) 90
(B) 180
(C) 2
(D) $\frac{1}{2}$
เชเชตเชพเชฌ: (C) 2
เชเชเซเชฒ:
เช เชนเซเช เชฌเชเชจเซ เชธเชฎเซเชเชฐเชฃเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ เชเชฐเชคเชพ:
$$(27x + 63y) + (63x + 27y) = 45 + 135$$
$$90x + 90y = 180$$
เชนเชตเซ, เชฌเชเชจเซ เชฌเชพเชเซ 90 เชตเชกเซ เชญเชพเชเชคเชพ:
$$90(x + y) = 180$$
$$x + y = \frac{180}{90}$$
$$x + y = 2$$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซช เชเซ เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ $2x^2 + 5x – k = 0$ เชจเซ เชตเชฟเชตเซเชเช 81 เชนเซเชฏ เชคเซ $k =$ ______ เชฅเชพเชฏ.
(A) 5
(B) 7
(C) -7
(D) -5
เชเชตเชพเชฌ: (B) 7
เชเชเซเชฒ:
เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ $2x^2 + 5x – k = 0$ เชฎเชพเช $a = 2$, $b = 5$, เช เชจเซ $c = -k$ เชเซ.
เชตเชฟเชตเซเชเช ($D$) เชจเซเช เชธเซเชคเซเชฐ: $D = b^2 – 4ac$
เช เชนเซเช $D = 81$ เชเชชเซเชฒ เชเซ.
$$81 = (5)^2 – 4(2)(-k)$$
$$81 = 25 + 8k$$
$$81 – 25 = 8k$$
$$56 = 8k$$
$$k = \frac{56}{8} = 7$$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซซ เชตเชฟเชงเชพเชจ P : เชชเซเชฐเชฅเชฎ $n$ เช เชฏเซเชเซเชฎ เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ $n^2$ เชเซ.
เชตเชฟเชงเชพเชจ Q : เชชเซเชฐเชฅเชฎ $n$ เชฏเซเชเซเชฎ เชชเซเชฐเชพเชเซเชคเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ $n(n + 1)$ เชเซ.
(A) เชตเชฟเชงเชพเชจ P เชธเชพเชเซเช เชเซ เชชเชฐเชเชคเซ เชตเชฟเชงเชพเชจ Q เชเซเชเซเช เชเซ.
(B) เชตเชฟเชงเชพเชจ Q เชธเชพเชเซเช เชเซ เชชเชฐเชเชคเซ เชตเชฟเชงเชพเชจ P เชเซเชเซเช เชเซ.
(C) เชตเชฟเชงเชพเชจ P เช เชจเซ Q เชฌเชเชจเซ เชธเชพเชเชพ เชเซ.
(D) เชตเชฟเชงเชพเชจ P เช เชจเซ Q เชฌเชเชจเซ เชเซเชเชพ เชเซ.
เชเชตเชพเชฌ: (C) เชตเชฟเชงเชพเชจ P เช เชจเซ Q เชฌเชเชจเซ เชธเชพเชเชพ เชเซ.
เชเชเซเชฒ:
- เชตเชฟเชงเชพเชจ P: เช เชฏเซเชเซเชฎ เชธเชเชเซเชฏเชพเช (1, 3, 5…) เชฎเชพเชเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเชพเชจเซเช เชธเซเชคเซเชฐ $S_n = n^2$ เชเซ. (เชธเชพเชเซเช)
- เชตเชฟเชงเชพเชจ Q: เชฏเซเชเซเชฎ เชธเชเชเซเชฏเชพเช (2, 4, 6…) เชฎเชพเชเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเชพเชจเซเช เชธเซเชคเซเชฐ $S_n = n(n + 1)$ เชเซ. (เชธเชพเชเซเช)
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซฌ เชธเชฎเชฒเชเชฌ เชเชคเซเชทเซเชเซเชฃ $PQRS$ เชฎเชพเช $PQ \parallel RS$ เชเซ เชคเชฅเชพ $PR$ เช เชจเซ $QS$ เชฌเชฟเชเชฆเซ $O$ เชฎเชพเช เชเซเชฆเซ เชเซ. เชเซ $OP = 6, OQ = 9$ เช เชจเซ $OR = 8$ เชนเซเชฏ เชคเซ $OS =$ ______ เชฅเชพเชฏ.
(A) $\frac{58}{9}$
(B) 12
(C) $\frac{58}{8}$
(D) 11
เชเชตเชพเชฌ: (B) 12
เชเชเซเชฒ:
เชธเชฎเชฒเชเชฌ เชเชคเซเชทเซเชเซเชฃเชฎเชพเช เชตเชฟเชเชฐเซเชฃเซ เชเชเชฌเซเชเชพเชจเซ เชธเชฎเชพเชจ เชเซเชฃเซเชคเซเชคเชฐเชฎเชพเช เชตเชฟเชญเชพเชเชฟเชค เชเชฐเซ เชเซ. เชคเซเชฅเซ:
$$\frac{OP}{OR} = \frac{OQ}{OS}$$
$$\frac{6}{8} = \frac{9}{OS}$$
$$6 \times OS = 9 \times 8$$
$$6 \times OS = 72$$
$$OS = \frac{72}{6} = 12$$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ 7 เชเชเชฎเชฌเชฟเชเชฆเซเชฅเซ เชฌเชฟเชเชฆเซ P (36, 15) เชธเซเชงเซเชจเซเช เช เชเชคเชฐ __________ เชฅเชพเชฏ.
(เชตเชฟเชเชฒเซเชชเซ: 39, 51, 21)
เชเชตเชพเชฌ: 39
เชเชเซเชฒ:
เชเชเชฎเชฌเชฟเชเชฆเซ $O(0, 0)$ เชฅเซ เชฌเชฟเชเชฆเซ $P(x, y)$ เชตเชเซเชเซเชจเซเช เช เชเชคเชฐ = $\sqrt{x^2 + y^2}$
เช เชเชคเชฐ = $\sqrt{36^2 + 15^2}$
= $\sqrt{1296 + 225}$
= $\sqrt{1521} = 39$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ 8 $\tan^2\theta – \sec^2\theta =$ __________
(เชตเชฟเชเชฒเซเชชเซ: 1, -1, 0)
เชเชตเชพเชฌ: -1
เชเชเซเชฒ:
เชเชชเชฃเซ เชเชพเชฃเซเช เชเซเช เชเซ เชจเชฟเชคเซเชฏเชธเชฎ: $\sec^2\theta – \tan^2\theta = 1$
เชคเซเชฅเซ, $\tan^2\theta – \sec^2\theta = -( \sec^2\theta – \tan^2\theta ) = -1$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ 9 เชเชคเซเชทเซเชเซเชฃ ABCD เชเช เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชชเชฐเชฟเชเชค เชเซ. เชเซ AB = 6, BC = 8, CD = 5 เชคเซ AD = __________
(เชตเชฟเชเชฒเซเชชเซ: 3, 11, 8)
เชเชตเชพเชฌ: 3
เชเชเซเชฒ:
เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชชเชฐเชฟเชเชค เชเชคเซเชทเซเชเซเชฃ เชฎเชพเชเซ, เชธเชพเชฎเชธเชพเชฎเซเชจเซ เชฌเชพเชเซเชเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ เชธเชฎเชพเชจ เชนเซเชฏ เชเซ:
$AB + CD = BC + AD$
$6 + 5 = 8 + AD$
$11 = 8 + AD$
$AD = 11 – 8 = 3$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ 10 เชเช เชเชกเชฟเชฏเชพเชณเชจเชพ เชฎเชฟเชจเชฟเช เชเชพเชเชเชพเชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช 14 เชธเซ.เชฎเซ. เชเซ. เชฎเชฟเชจเชฟเช เชเชพเชเชเซ 5 เชฎเชฟเชจเชฟเชเชฎเชพเช __________ เชธเซ.เชฎเซ.$^2$ เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ เชเชกเชฟเชฏเชพเชณเชจเชพ เชเชเชฆเชพ เชชเชฐ เชเชเชคเชฐเซ เชเซ.
(เชตเชฟเชเชฒเซเชชเซ: 154, $\frac{154}{3}$, 77)
เชเชตเชพเชฌ: $\frac{154}{3}$
เชเชเซเชฒ:
- เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพ ($r$) = 14 เชธเซ.เชฎเซ.
- 5 เชฎเชฟเชจเชฟเชเชฎเชพเช เชฎเชฟเชจเชฟเช เชเชพเชเชเชพเช เชฐเชเซเชฒเซ เชเซเชฃเซ ($\theta$):
- 60 เชฎเชฟเชจเชฟเชเชฎเชพเช $360^\circ$ เชเซเชฃเซ เชฌเชจเซ.
- 5 เชฎเชฟเชจเชฟเชเชฎเชพเช $\frac{360}{60} \times 5 = 30^\circ$
- เชตเซเชคเซเชคเชพเชเชถเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ = $\frac{\pi r^2 \theta}{360}$
- $= \frac{22}{7} \times \frac{14 \times 14 \times 30}{360}$
- $= \frac{22 \times 2 \times 14}{12} = \frac{22 \times 7}{3} = \frac{154}{3}$ เชธเซ.เชฎเซ.$^2$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ 11 เชฌเซ เชเซเชฒเชเชจเซ เชธเชชเชพเชเซเชจเชพ เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณเชจเซ เชเซเชฃเซเชคเซเชคเชฐ 1:2 เชนเซเชฏ เชคเซ เชคเซเชฎเชจเชพ เชเชจเชซเชณเชจเซ เชเซเชฃเซเชคเซเชคเชฐ __________ เชฅเชพเชฏ.
(เชตเชฟเชเชฒเซเชชเซ: $2:\sqrt{2}$, $1:2\sqrt{2}$, $3:2\sqrt{2}$)
เชเชตเชพเชฌ: $1:2\sqrt{2}$
เชเชเซเชฒ:
เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณเชจเซ เชเซเชฃเซเชคเซเชคเชฐ ($A_1/A_2$) = $(r_1/r_2)^2 = 1/2$
เชคเซเชฅเซ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพเชจเซ เชเซเชฃเซเชคเซเชคเชฐ ($r_1/r_2$) = $1/\sqrt{2}$
เชเชจเชซเชณเชจเซ เชเซเชฃเซเชคเซเชคเชฐ ($V_1/V_2$) = $(r_1/r_2)^3 = (1/\sqrt{2})^3$
$= \frac{1}{2\sqrt{2}}$ เช เชฅเชตเชพ $1:2\sqrt{2}$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ 12 $Z – M =$ __________ $\times (M – \bar{x})$
(เชตเชฟเชเชฒเซเชชเซ: 2, 3, 4)
เชเชตเชพเชฌ: 2
เชเชเซเชฒ:
เชเชเชเชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเชจเซเช เชฎเซเชณ เชธเซเชคเซเชฐ: $Z = 3M – 2\bar{x}$
เชเชจเซ เชเซเช เชตเชคเชพ:
$Z – M = 3M – 2\bar{x} – M$
$Z – M = 2M – 2\bar{x}$
$Z – M = 2(M – \bar{x})$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซงเซฉ เชเซ $P(A) = (0.8)^2$ เชนเซเชฏ เชคเซ $P(\bar{A}) = (0.2)^2$ เชฅเชพเชฏ.
เชเชตเชพเชฌ: เชเซเชเซเช
เชเชเซเชฒ:
- เชเชชเชฃเซ เชเชพเชฃเซเช เชเซเช เชเซ $P(A) + P(\bar{A}) = 1$ เชฅเชพเชฏ.
- เช เชนเซเช $P(A) = (0.8)^2 = 0.64$.
- เชคเซเชฅเซ $P(\bar{A}) = 1 – 0.64 = 0.36$.
- เชเซเชฏเชพเชฐเซ เชชเซเชฐเชถเซเชจเชฎเชพเช เชเชชเซเชฒ เชเชฟเชเชฎเชค $(0.2)^2 = 0.04$ เชเซ.
- $0.36 \neq 0.04$, เชคเซเชฅเซ เชตเชฟเชงเชพเชจ เชเซเชเซเช เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซงเซช เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เชฏเซเชเซเชฎ $x + 2y – 4 = 0$ เช เชจเซ $2x + 4y – 12 = 0$ เชจเซ เชเชฒเซเช เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชฐเซเชเชพเช เชฅเชพเชฏ.
เชเชตเชพเชฌ: เชเชฐเซเช
เชเชเซเชฒ:
- เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ: $a_1=1, b_1=2, c_1=-4$
- เชฌเซเชเซเช เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ: $a_2=2, b_2=4, c_2=-12$
- เชเซเชฃเซเชคเซเชคเชฐ เชเชเชพเชธเชคเชพ:
- $\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$
- $\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
- $\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$
- เช เชนเซเช $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ เชนเซเชตเชพเชฅเซ เชฐเซเชเชพเช เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซงเซซ $x^2 + 3x + 1 = (x – 2)^2$ เช เชฆเซเชตเชฟเชเชพเชค เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เชเซ.
เชเชตเชพเชฌ: เชเซเชเซเช
เชเชเซเชฒ:
- เชเชฎเชฃเซ เชฌเชพเชเซเชจเซเช เชตเชฟเชธเซเชคเชฐเชฃ เชเชฐเชคเชพ: $(x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4$
- เชนเชตเซ เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ: $x^2 + 3x + 1 = x^2 – 4x + 4$
- เชฌเชเชจเซ เชฌเชพเชเซเชฅเซ $x^2$ เชเชกเซ เชเชถเซ, เชคเซเชฅเซ เชฌเชพเชเซ เชฐเชนเซเชถเซ: $3x + 1 = -4x + 4 \Rightarrow 7x – 3 = 0$.
- เช เชธเซเชฐเซเช เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เชเซ, เชฆเซเชตเชฟเชเชพเชค เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เชจเชฅเซ เชเชพเชฐเชฃ เชเซ เชคเซเชฎเชพเช $x^2$ เชตเชพเชณเซเช เชชเชฆ เชฐเชนเซเชคเซเช เชจเชฅเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซงเซฌ เชฌเชฟเชเชฆเซ $(3, -4)$ เชจเซเช $Y$-เช เชเซเชทเชฅเซ เชฒเชเชฌ เช เชเชคเชฐ $3$ เชเซ.
เชเชตเชพเชฌ: เชเชฐเซเช
เชเชเซเชฒ:
- เชเซเชเชชเชฃ เชฌเชฟเชเชฆเซ $(x, y)$ เชจเซเช $Y$-เช เชเซเชทเชฅเซ เชฒเชเชฌ เช เชเชคเชฐ เชเชเชฒเซ เชคเซ เชฌเชฟเชเชฆเซเชจเชพ $x$-เชฏเชพเชฎเชจเซเช เชงเชจ เชฎเซเชฒเซเชฏ ($|x|$).
- เช เชนเซเช $x = 3$ เชเซ, เชคเซเชฅเซ $Y$-เช เชเซเชทเชฅเซ เชฒเชเชฌ เช เชเชคเชฐ $|3| = 3$ เชฅเชพเชฏ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซงเซญ เชเซ เชจเชณเชพเชเชพเชฐเชจเซ เชตเชเซเชฐเชธเชชเชพเชเซเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ = $\frac{1}{3} \times$ เชจเชณเชพเชเชพเชฐเชจเซ เชเซเชฒ เชธเชชเชพเชเซเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ เชนเซเชฏ เชคเซ เชคเซเชจเซ เชเชเชเชพเช เช เชจเซ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพ เชตเชเซเชเซเชจเซ เชธเชเชฌเชเชง เชเชฃเชพเชตเซ.
เชเชตเชพเชฌ: $r = 2h$ (เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพ เชเชเชเชพเช เชเชฐเชคเชพ เชฌเชฎเชฃเซ เชเซ)
เชเชเซเชฒ:
- เชจเชณเชพเชเชพเชฐเชจเซ เชตเชเซเชฐเชธเชชเชพเชเซเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ = $2\pi rh$
- เชจเชณเชพเชเชพเชฐเชจเซ เชเซเชฒ เชธเชชเชพเชเซเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ = $2\pi r(h + r)$
- เชชเซเชฐเชถเซเชจ เชฎเซเชเชฌ: $2\pi rh = \frac{1}{3} \times 2\pi r(h + r)$
- $3h = h + r$
- $3h – h = r$
- $2h = r$ เช เชฅเชตเชพ $r = 2h$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซงเซฎ เชเซ $Z + M = 40$ เช เชจเซ $Z – M = 4$ เชนเซเชฏ เชคเซ เชคเซเชจเซ เชฎเชงเซเชฏเช ($\bar{x}$) เชถเซเชงเซ.
เชเชตเชพเชฌ: เชฎเชงเซเชฏเช ($\bar{x}$) = 15
เชเชเซเชฒ:
- เชฌเชเชจเซ เชธเชฎเซเชเชฐเชฃเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ เชเชฐเชคเชพ: $(Z + M) + (Z – M) = 40 + 4 \Rightarrow 2Z = 44 \Rightarrow Z = 22$.
- เชนเชตเซ $Z + M = 40$ เชฎเชพเช เชเชฟเชเชฎเชค เชฎเซเชเชคเชพ: $22 + M = 40 \Rightarrow M = 18$.
- เชเชเชเชกเชพเชถเชพเชธเซเชคเซเชฐเชจเชพ เชธเซเชคเซเชฐ เชฎเซเชเชฌ: $Z = 3M – 2\bar{x}$
- $22 = 3(18) – 2\bar{x}$
- $22 = 54 – 2\bar{x}$
- $2\bar{x} = 54 – 22$
- $2\bar{x} = 32 \Rightarrow \bar{x} = 16$(เชธเซเชงเชพเชฐเซ: เชเชฃเชคเชฐเซ เชฎเซเชเชฌ 16 เชเชตเซ เชเซ)
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซงเซฏ $p, q, r$ เช เชตเชฟเชญเชพเชเซเชฏ เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเชเซ เชนเซเชฏ เชคเซ เชคเซเชฎเชจเซ เชฒ.เชธเชพ.เช . เชถเซเช เชฅเชพเชฏ?
เชเชตเชพเชฌ: $pqr$
เชเชเซเชฒ:
- เช เชตเชฟเชญเชพเชเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชฎเชพเช เชเซเช เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เช เชตเชฏเชต เชนเซเชคเซ เชจเชฅเซ (เชธเชฟเชตเชพเชฏ เชเซ 1).
- เชคเซเชฅเซ, เช เชตเชฟเชญเชพเชเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชจเซ เชฒ.เชธเชพ.เช . เชนเชเชฎเซเชถเชพ เชคเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเชเชจเชพ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ เชเซเชเชฒเซ เช เชนเซเชฏ เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซจเซฆ เชฆเซเชตเชฟเชเชพเชค เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ $6x^2 – 13x + m = 0$ เชจเชพ เชฌเชเชจเซ เชฌเซเช เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชตเซเชฏเชธเซเชค เชนเซเชฏ เชคเซ $m$ เชจเซ เชเชฟเชเชฎเชค เชถเซเชงเซ.
เชเชตเชพเชฌ: $m = 6$
เชเชเซเชฒ:
- เชเซ เชฆเซเชตเชฟเชเชพเชค เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ $ax^2 + bx + c = 0$ เชจเชพ เชฌเซเช เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เชตเซเชฏเชธเซเชค เชนเซเชฏ, เชคเซ เชถเซเชจเซเชฏเซเชจเซ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ 1 เชฅเชพเชฏ.
- เชถเซเชจเซเชฏเซเชจเซ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ = $\frac{c}{a} = 1$
- เช เชนเซเช $a = 6$ เช เชจเซ $c = m$.
- $\frac{m}{6} = 1 \Rightarrow m = 6$.
เชเซเชกเชเชพเช เชจเช – 1 : เชฌเชนเซเชชเชฆเซ เช เชจเซ เชคเซเชจเชพ เชถเซเชจเซเชฏเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ
| เชชเซเชฐเชถเซเชจ | เช – (เชฌเชนเซเชชเชฆเซ) | เชฌ – (เชถเซเชจเซเชฏเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ) | เชเชตเชพเชฌ |
| 21) | $P(x) = x^3 + x^2$ | (b) 2 | (b) |
| 22) | $P(x) = x^3 – x$ | (c) 3 | (c) |
เชเชเซเชฒ:
- 21 เชฎเชพเชเซ: $P(x) = x^2(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 0$ เช เชฅเชตเชพ $x = -1$. เช เชนเซเช เชฌเซ เชญเชฟเชจเซเชจ เชถเซเชจเซเชฏเซ เชฎเชณเซ เชเซ.
- 22 เชฎเชพเชเซ: $P(x) = x(x^2 – 1) = x(x – 1)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 0, 1, -1$. เช เชนเซเช เชคเซเชฐเชฃ เชญเชฟเชจเซเชจ เชถเซเชจเซเชฏเซ เชฎเชณเซ เชเซ.
เชเซเชกเชเชพเช เชจเช – 2 : เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃเชฎเชฟเชคเชฟ
| เชชเซเชฐเชถเซเชจ | เช | เชฌ | เชเชตเชพเชฌ |
| 23) | $\tan \theta \times \cos \theta$ | (c) $\sin \theta$ | (c) |
| 24) | $\cos^2 \theta – \sin^2 \theta$ | (a) $2\cos^2 \theta – 1$ | (a) |
เชเชเซเชฒ:
- 23 เชฎเชพเชเซ: $\tan \theta \times \cos \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \cos \theta = \sin \theta$.
- 24 เชฎเชพเชเซ: $\cos^2 \theta – \sin^2 \theta = \cos^2 \theta – (1 – \cos^2 \theta) = \cos^2 \theta – 1 + \cos^2 \theta = 2\cos^2 \theta – 1$.
เชตเชฟเชญเชพเช – B
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซจเซซ: เชธเชพเชฌเชฟเชค เชเชฐเซ เชเซ $2 + 3\sqrt{5}$ เช เชธเชเชฎเซเชฏ เชเซ.
เชธเชพเชฌเชฟเชคเซ:
เชงเชพเชฐเซ เชเซ $2 + 3\sqrt{5}$ เช เชเช เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพ เชเซ.
เชคเซเชฅเซ, เชเชชเชฃเซ เชชเชฐเชธเซเชชเชฐ เช เชตเชฟเชญเชพเชเซเชฏ เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเชเซ $a$ เช เชจเซ $b$ ($b \neq 0$) เชเชตเชพ เชถเซเชงเซ เชถเชเซเช เชเซ เชเซเชฅเซ:
$$2 + 3\sqrt{5} = \frac{a}{b}$$
เชนเชตเซ, เชชเชฆเซเชจเซ เชซเซเชฐเชฌเชฆเชฒเซ เชเชฐเชคเชพ:
$$3\sqrt{5} = \frac{a}{b} – 2$$
$$3\sqrt{5} = \frac{a – 2b}{b}$$
$$\sqrt{5} = \frac{a – 2b}{3b}$$
เช เชนเซเช, $a, b, 2$ เช เชจเซ $3$ เช เชชเซเชฐเซเชฃเชพเชเชเซ เชนเซเชตเชพเชฅเซ, เชเชฎเชฃเซ เชฌเชพเชเซเชจเซ เชเชฟเชเชฎเชค $\frac{a – 2b}{3b}$ เช เชเช เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพ เชฅเชพเชฏ.
เชเชจเซ เช เชฐเซเชฅ เช เชฅเชพเชฏ เชเซ $\sqrt{5}$ เชชเชฃ เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพ เชนเซเชตเซ เชเซเชเช.
เชชเชฐเชเชคเซ, เชเชชเชฃเซ เชเชพเชฃเซเช เชเซเช เชเซ $\sqrt{5}$ เช เชเช เช เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพ เชเซ.
เชเชฎ, เชเชชเชฃเซ เชงเชพเชฐเชฃเชพ เชเซเชเซ เชเซ.
เชคเซเชฅเซ เชธเชพเชฌเชฟเชค เชฅเชพเชฏ เชเซ เชเซ, $2 + 3\sqrt{5}$ เช เช เชธเชเชฎเซเชฏ เชธเชเชเซเชฏเชพ เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซจเซฌ: เชฆเซเชตเชฟเชเชฒ เชธเซเชฐเซเช เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เชฏเซเชเซเชฎ $2x + 3y = 11$ เช เชจเซ $x – 2y = -12$ เชจเซ เชเชเซเชฒ เชถเซเชงเซ เช เชจเซ เชเชตเซ ‘$m$’ เชถเซเชงเซ เชเซ เชเซเชฅเซ $y = mx + 3$ เชฅเชพเชฏ.
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชธเชฎเซเชเชฐเชฃเซเชจเซ เชเชเซเชฒ เชถเซเชงเชตเซ:
เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เซง: $2x + 3y = 11$
เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เซจ: $x – 2y = -12 \Rightarrow x = 2y – 12$
เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เซจ เชจเซ $x$ เชจเซ เชเชฟเชเชฎเชค เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เซง เชฎเชพเช เชฎเซเชเชคเชพ:
$$2(2y – 12) + 3y = 11$$
$$4y – 24 + 3y = 11$$
$$7y = 11 + 24$$
$$7y = 35 \Rightarrow y = 5$$
เชนเชตเซ $y = 5$ เชจเซ $x = 2y – 12$ เชฎเชพเช เชฎเซเชเชคเชพ:
$$x = 2(5) – 12$$
$$x = 10 – 12 \Rightarrow x = -2$$
เชคเซเชฅเซ เชเชเซเชฒ: $x = -2, y = 5$
เซจ. ‘$m$’ เชจเซ เชเชฟเชเชฎเชค เชถเซเชงเชตเซ:
เชเชชเซเชฒ เชเซ เชเซ $y = mx + 3$.
$x = -2$ เช เชจเซ $y = 5$ เชฎเซเชเชคเชพ:
$$5 = m(-2) + 3$$
$$5 – 3 = -2m$$
$$2 = -2m$$
$$m = \frac{2}{-2} \Rightarrow m = -1$$
เชเชตเชพเชฌ: เชเชเซเชฒ $x = -2, y = 5$ เชเซ เช เชจเซ $m = -1$ เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซจเซญ: เชฆเซเชตเชฟเชเชพเชค เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ $kx(x – 2) + 6 = 0$ เชจเชพ เชฌเซเช เชธเชฎเชพเชจ เชนเซเชฏ เชคเซ $k$ เชจเซเช เชฎเซเชฒเซเชฏ เชถเซเชงเซ.
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชเชชเซเชฒ เชธเชฎเซเชเชฐเชฃเชจเซ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเชฟเชค เชธเซเชตเชฐเซเชช $ax^2 + bx + c = 0$ เชฎเชพเช เชซเซเชฐเชตเชคเชพ:
$$kx^2 – 2kx + 6 = 0$$
เช เชนเซเช, $a = k, b = -2k, c = 6$.
เซจ. เชเซ เชฌเซเช เชธเชฎเชพเชจ เชนเซเชฏ, เชคเซ เชตเชฟเชตเซเชเช ($D$) เชจเซ เชเชฟเชเชฎเชค เชถเซเชจเซเชฏ ($0$) เชฅเชพเชฏ.
$$D = b^2 – 4ac = 0$$
$$(-2k)^2 – 4(k)(6) = 0$$
$$4k^2 – 24k = 0$$
เซฉ. เชนเชตเซ เชธเชพเชฆเซเช เชฐเซเชช เชเชชเชคเชพ:
$$4k(k – 6) = 0$$
เชคเซเชฅเซ, $4k = 0$ เช เชฅเชตเชพ $k – 6 = 0$.
$k = 0$ เช เชฅเชตเชพ $k = 6$.
เชชเชฐเชเชคเซ, เชเซ $k = 0$ เชฒเชเช เชคเซ $x^2$ เชตเชพเชณเซเช เชชเชฆ เชถเซเชจเซเชฏ เชฅเช เชเชพเชฏ, เชเซ เชฆเซเชตเชฟเชเชพเชค เชธเชฎเซเชเชฐเชฃเชฎเชพเช เชถเชเซเชฏ เชจเชฅเซ.
เชคเซเชฅเซ, $k$ เชจเซเช เชธเชพเชเซเช เชฎเซเชฒเซเชฏ 6 เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซจเซฎ: เชฌเซ เชเชตเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเช เชถเซเชงเซ เชเซ เชเซเชฎเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ 27 เช เชจเซ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ 182 เชนเซเชฏ.
เชเชเซเชฒ:
เชงเชพเชฐเซ เชเซ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชธเชเชเซเชฏเชพ $x$ เชเซ.
เชคเซเชฅเซ เชฌเซเชเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ $(27 – x)$ เชฅเชถเซ (เชเชพเชฐเชฃ เชเซ เชฌเชเชจเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ 27 เชเซ).
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เชฎเซเชเชฌ, เชคเซเชฎเชจเซ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ 182 เชเซ:
$$x(27 – x) = 182$$
$$27x – x^2 = 182$$
เชธเชฎเซเชเชฐเชฃเชจเซ เชตเซเชฏเชตเชธเซเชฅเชฟเชค เชเซเช เชตเชคเชพ:
$$x^2 – 27x + 182 = 0$$
เชนเชตเซ, เซงเซฎเซจ เชจเชพ เชเชตเชพ เช เชตเชฏเชต เชชเชพเชกเซ เชเซ เชเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ เซจเซญ เชฅเชพเชฏ ($13 \times 14 = 182$ เช เชจเซ $13 + 14 = 27$):
$$x^2 – 13x – 14x + 182 = 0$$
$$x(x – 13) – 14(x – 13) = 0$$
$$(x – 13)(x – 14) = 0$$
เชคเซเชฅเซ, $x = 13$ เช เชฅเชตเชพ $x = 14$.
เชเชตเชพเชฌ: เชคเซ เชฌเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเช 13 เช เชจเซ 14 เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซจเซฏ: $3, 8, 13, \dots, 253$ เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชถเซเชฐเซเชฃเซ เชนเซเชฏ, เชคเซ เชคเซเชจเซเช เชเซเชฒเซเชฒเซเชฅเซ $10$ เชฎเซเช เชชเชฆ เชถเซเชงเซ.
เชเชเซเชฒ:
เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชถเซเชฐเซเชฃเซเชจเซเช เชเซเชฒเซเชฒเซเชฅเซ $n$ เชฎเซเช เชชเชฆ เชถเซเชงเชตเชพเชจเซเช เชธเซเชคเซเชฐ: $l – (n – 1)d$
เช เชนเซเช เชเชชเซเชฒ เชฎเชพเชนเชฟเชคเซ เชฎเซเชเชฌ:
- เชเซเชฒเซเชฒเซเช เชชเชฆ ($l$) = $253$
- เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชคเชซเชพเชตเชค ($d$) = $8 – 3 = 5$
- เชถเซเชงเชตเชพเชจเซเช เชชเชฆ ($n$) = $10$
เชเชฟเชเชฎเชคเซ เชธเซเชคเซเชฐเชฎเชพเช เชฎเซเชเชคเชพ:
$$\text{เชเซเชฒเซเชฒเซเชฅเซ } 10 \text{ เชฎเซเช เชชเชฆ} = l – (10 – 1)d$$
$$= 253 – (9)(5)$$
$$= 253 – 45$$
$$= 208$$
เชเชตเชพเชฌ: เชถเซเชฐเซเชฃเซเชจเซเช เชเซเชฒเซเชฒเซเชฅเซ $10$ เชฎเซเช เชชเชฆ $208$ เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซฉเซฆ: เชเซ $\sin(A – B) = \frac{1}{2}$ เช เชจเซ $\cos(A + B) = \frac{1}{2}, 0^\circ < A + B \le 90^\circ, A > B$ เชคเซ $A$ เช เชจเซ $B$ เชถเซเชงเซ.
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชเชชเซเชฒ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชถเชฐเชค เชฎเซเชเชฌ:
$$\sin(A – B) = \frac{1}{2}$$
เชเชชเชฃเซ เชเชพเชฃเซเช เชเซเช เชเซ $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$, เชคเซเชฅเซ:
$$A – B = 30^\circ \quad \dots \text{(เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เซง)}$$
เซจ. เชฌเซเชเซ เชถเชฐเชค เชฎเซเชเชฌ:
$$\cos(A + B) = \frac{1}{2}$$
เชเชชเชฃเซ เชเชพเชฃเซเช เชเซเช เชเซ $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, เชคเซเชฅเซ:
$$A + B = 60^\circ \quad \dots \text{(เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เซจ)}$$
เซฉ. เชนเชตเซ เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เซง เช เชจเซ เซจ เชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ เชเชฐเชคเชพ:
$$(A – B) + (A + B) = 30^\circ + 60^\circ$$
$$2A = 90^\circ$$
$$A = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$
เซช. $A = 45^\circ$ เชจเซ เชเชฟเชเชฎเชค เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เซจ เชฎเชพเช เชฎเซเชเชคเชพ:
$$45^\circ + B = 60^\circ$$
$$B = 60^\circ – 45^\circ$$
$$B = 15^\circ$$
เชเชตเชพเชฌ: $A = 45^\circ$ เช เชจเซ $B = 15^\circ$ เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซฉเซง: เชธเชพเชฌเชฟเชค เชเชฐเซ เชเซ $(\sin A + \csc A)^2 + (\cos A + \sec A)^2 = 7 + \tan^2 A + \cot^2 A$
เชธเชพเชฌเชฟเชคเซ:
เชกเชพเชฌเซ เชฌเชพเชเซ (LHS) = $(\sin A + \csc A)^2 + (\cos A + \sec A)^2$
เซง. เชฆเซเชตเชฟเชชเชฆเซเชจเชพ เชตเชฐเซเชเชจเชพ เชธเซเชคเซเชฐ $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ เชฎเซเชเชฌ เชตเชฟเชธเซเชคเชฐเชฃ เชเชฐเชคเชพ:
$= (\sin^2 A + 2\sin A \csc A + \csc^2 A) + (\cos^2 A + 2\cos A \sec A + \sec^2 A)$
เซจ. เชเชชเชฃเซ เชเชพเชฃเซเช เชเซเช เชเซ $\sin A \cdot \csc A = 1$ เช เชจเซ $\cos A \cdot \sec A = 1$ เชฅเชพเชฏ:
$= \sin^2 A + 2(1) + \csc^2 A + \cos^2 A + 2(1) + \sec^2 A$
$= \sin^2 A + \cos^2 A + 2 + 2 + \csc^2 A + \sec^2 A$
เซฉ. เชจเชฟเชคเซเชฏเชธเชฎ $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ เชฎเซเชเชคเชพ:
$= 1 + 4 + \csc^2 A + \sec^2 A$
$= 5 + \csc^2 A + \sec^2 A$
เซช. เชนเชตเซ, เชฌเซเชเชพ เชฌเซ เชจเชฟเชคเซเชฏเชธเชฎ $\csc^2 A = 1 + \cot^2 A$ เช เชจเซ $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$ เชฎเซเชเชคเชพ:
$= 5 + (1 + \cot^2 A) + (1 + \tan^2 A)$
$= 5 + 1 + 1 + \tan^2 A + \cot^2 A$
$= 7 + \tan^2 A + \cot^2 A$ = เชเชฎเชฃเซ เชฌเชพเชเซ (RHS)
เชเชฎ, เชกเชพเชฌเชพ = เชเชฌเชพ เชธเชพเชฌเชฟเชค เชฅเชพเชฏ เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซฉเซจ: เชฌเซ เชธเชฎเชเซเชจเซเชฆเซเชฐเซ เชตเชฐเซเชคเซเชณเซเชจเซ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพเช 13 เชธเซเชฎเซ เช เชจเซ 5 เชธเซเชฎเซ เชเซ. เชฎเซเชเชพ เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชเซเชตเชพ เชจเชพเชจเชพ เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชธเซเชชเชฐเซเชถเซ เชเซ, เชคเซ เชเซเชตเชพเชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช เชถเซเชงเซ.
เชเชเซเชฒ:
เชงเชพเชฐเซ เชเซ เชฌเซ เชธเชฎเชเซเชจเซเชฆเซเชฐเซ เชตเชฐเซเชคเซเชณเซเชจเซเช เชเซเชจเซเชฆเซเชฐ $O$ เชเซ. เชฎเซเชเชพ เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชเซเชตเชพ $AB$ เชจเชพเชจเชพ เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชฌเชฟเชเชฆเซ $M$ เชฎเชพเช เชธเซเชชเชฐเซเชถเซ เชเซ.
เซง. เช เชนเซเช, $OM$ เช เชจเชพเชจเชพ เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพ เชเซ, เชคเซเชฅเซ $OM = 5$ เชธเซเชฎเซ.
เซจ. $OA$ เช เชฎเซเชเชพ เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพ เชเซ, เชคเซเชฅเซ $OA = 13$ เชธเซเชฎเซ.
เซฉ. เชธเซเชชเชฐเซเชถเช เช เชจเซ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพ เชตเชเซเชเซเชจเซ เชเซเชฃเซ เชเชพเชเชเซเชฃเซ เชนเซเชฏ เชเซ, เชคเซเชฅเซ $\angle OMA = 90^\circ$.
เซช. เชเชพเชเชเซเชฃ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃ $\triangle OMA$ เชฎเชพเช เชชเชพเชฏเชฅเชพเชเซเชฐเชธเชจเชพ เชชเซเชฐเชฎเซเชฏ เชฎเซเชเชฌ:
$OA^2 = OM^2 + AM^2$
$13^2 = 5^2 + AM^2$
$169 = 25 + AM^2$
$AM^2 = 169 – 25$
$AM^2 = 144$
$AM = \sqrt{144} = 12$ เชธเซเชฎเซ.
เซซ. เชเซเชจเซเชฆเซเชฐเชฎเชพเชเชฅเซ เชเซเชตเชพ เชชเชฐ เชฆเซเชฐเซเชฒเซ เชฒเชเชฌ เชเซเชตเชพเชจเซ เชฆเซเชญเชพเชเซ เชเซ, เชคเซเชฅเซ เชเซเชตเชพ $AB$ เชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช:
$AB = 2 \times AM$
$AB = 2 \times 12 = 24$ เชธเซเชฎเซ.
เชเชตเชพเชฌ: เชฎเซเชเชพ เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชเซเชตเชพเชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช 24 เชธเซเชฎเซ เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซฉเซฉ: เชฌเซ เชเชจ เชชเซเชเซ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซเชเชจเซเช เชเชจเชซเชณ 64 เชธเซเชฎเซ$^3$ เชนเซเชฏ เชคเซเชตเชพ เชฌเซ เชเชจเชจเซ เชเซเชกเชตเชพเชฅเซ เชฌเชจเชคเชพ เชฒเชเชฌเชเชจเชจเซเช เชเซเชฒ เชชเซเชทเซเช เชซเชณ เชถเซเชงเซ.
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชเชจเชจเซ เชฌเชพเชเซเชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช เชถเซเชงเชตเซ:
- เชงเชพเชฐเซ เชเซ เชเชจเชจเซ เชฌเชพเชเซเชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช $a$ เชเซ.
- เชเชจเชจเซเช เชเชจเชซเชณ = $a^3 = 64$
- $a = \sqrt[3]{64} = 4$ เชธเซเชฎเซ.
เซจ. เชฒเชเชฌเชเชจเชจเชพ เชฎเชพเชช:
- เชเซเชฏเชพเชฐเซ เชฌเซ เชเชจเชจเซ เชชเชพเชธเชชเชพเชธเซ เชเซเชกเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ, เชคเซเชฏเชพเชฐเซ เชฌเชจเชคเชพ เชฒเชเชฌเชเชจเชจเซ:
- เชฒเชเชฌเชพเช ($l$) = $4 + 4 = 8$ เชธเซเชฎเซ.
- เชชเชนเซเชณเชพเช ($b$) = $4$ เชธเซเชฎเซ.
- เชเชเชเชพเช ($h$) = $4$ เชธเซเชฎเซ.
เซฉ. เชฒเชเชฌเชเชจเชจเซเช เชเซเชฒ เชชเซเชทเซเช เชซเชณ:
- เชธเซเชคเซเชฐ: $2(lb + bh + hl)$
- $= 2(8 \times 4 + 4 \times 4 + 4 \times 8)$
- $= 2(32 + 16 + 32)$
- $= 2(80) = 160$ เชธเซเชฎเซ$^2$.
เชเชตเชพเชฌ: เชฌเชจเชคเชพ เชฒเชเชฌเชเชจเชจเซเช เชเซเชฒ เชชเซเชทเซเช เชซเชณ 160 เชธเซเชฎเซ$^2$ เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซฉเซช: เช เชตเชฒเซเชเชจเซ $x, x + 3, x + 6, x + 9$ เช เชจเซ $x + 12$ เชจเซ เชฎเชงเซเชฏเช 10 เชนเซเชฏ เชคเซ $x$ เชถเซเชงเซ.
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชฎเชงเซเชฏเชเชจเซเช เชธเซเชคเซเชฐ: $\text{เชฎเชงเซเชฏเช} = \frac{\text{เช เชตเชฒเซเชเชจเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ}}{\text{เช เชตเชฒเซเชเชจเซเชจเซ เชเซเชฒ เชธเชเชเซเชฏเชพ}}$
เซจ. เช เชนเซเช เชฎเชงเซเชฏเช = 10 เช เชจเซ เช เชตเชฒเซเชเชจเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ = 5 เชเซ.
$$10 = \frac{x + (x + 3) + (x + 6) + (x + 9) + (x + 12)}{5}$$
เซฉ. เชธเชพเชฆเซเช เชฐเซเชช เชเชชเชคเชพ:
$$10 \times 5 = 5x + (3 + 6 + 9 + 12)$$
$$50 = 5x + 30$$
$$50 – 30 = 5x$$
$$20 = 5x$$
$$x = \frac{20}{5} = 4$$
เชเชตเชพเชฌ: $x$ เชจเซ เชเชฟเชเชฎเชค 4 เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซฉเซซ: เชเซ $n = 53, l = 60, f = 7, cf = 22$ เช เชจเซ $h = 10$ เชนเซเชฏ เชคเซ เชฎเชงเซเชฏเชธเซเชฅ เชถเซเชงเซ.
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชฎเชงเซเชฏเชธเซเชฅ ($M$) เชถเซเชงเชตเชพเชจเซเช เชธเซเชคเซเชฐ:
$$M = l + \left( \frac{\frac{n}{2} – cf}{f} \right) \times h$$
เซจ. เชเชชเซเชฒ เชเชฟเชเชฎเชคเซ เชธเซเชคเซเชฐเชฎเชพเช เชฎเซเชเชคเชพ:
- $l = 60$
- $n = 53 \Rightarrow \frac{n}{2} = 26.5$
- $cf = 22$
- $f = 7$
- $h = 10$
เซฉ. เชเชฃเชคเชฐเซ:
$$M = 60 + \left( \frac{26.5 – 22}{7} \right) \times 10$$
$$M = 60 + \left( \frac{4.5}{7} \right) \times 10$$
$$M = 60 + \frac{45}{7}$$
$$M = 60 + 6.428…$$
$$M \approx 66.43$$
เชเชตเชพเชฌ: เชฎเชงเซเชฏเชธเซเชฅ เชเชถเชฐเซ 66.43 เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซฉเซฌ: เชเชชเซเชฒ เชเซ เชเซ 3 เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซเชเชจเชพ เชธเชฎเซเชนเชฎเชพเช เชฌเซ เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซเชเชจเซ เชเชจเซเชฎ เชฆเชฟเชตเชธ เชธเชฎเชพเชจ เชจ เชนเซเชฏ เชคเซเชจเซ เชธเชเชญเชพเชตเชจเชพ 0.992 เชเซ. เชฌเซ เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซเชเชจเซ เชเชจเซเชฎ เชฆเชฟเชตเชธ เชธเชฎเชพเชจ เชนเซเชฏ เชคเซเชจเซ เชธเชเชญเชพเชตเชจเชพ เชถเซเชงเซ.
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชงเชพเชฐเซ เชเซ เชเชเชจเชพ $A$ เช ‘เชฌเซ เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซเชเชจเซ เชเชจเซเชฎ เชฆเชฟเชตเชธ เชธเชฎเชพเชจ เชนเซเชฏ’ เชคเซ เชเซ.
เซจ. เชคเซเชฅเซ, เชเชเชจเชพ $\bar{A}$ เช ‘เชฌเซ เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซเชเชจเซ เชเชจเซเชฎ เชฆเชฟเชตเชธ เชธเชฎเชพเชจ เชจ เชนเซเชฏ’ เชคเซ เชฅเชถเซ.
เซฉ. เชชเซเชฐเชถเซเชจ เชฎเซเชเชฌ, $P(\bar{A}) = 0.992$ เชเชชเซเชฒ เชเซ.
เซช. เชเชชเชฃเซ เชเชพเชฃเซเช เชเซเช เชเซ:
$$P(A) + P(\bar{A}) = 1$$
$$P(A) = 1 – P(\bar{A})$$
$$P(A) = 1 – 0.992$$
$$P(A) = 0.008$$
เชเชตเชพเชฌ: เชฌเซ เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซเชเชจเซ เชเชจเซเชฎ เชฆเชฟเชตเชธ เชธเชฎเชพเชจ เชนเซเชฏ เชคเซเชจเซ เชธเชเชญเชพเชตเชจเชพ 0.008 เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซฉเซญ เชเช เชเชฅเซเชฅเซ 144 เชฌเซเชฒเชชเซเชจ เชงเชฐเชพเชตเซ เชเซ. เชคเซเชฎเชพเชเชฅเซ 20 เชเชพเชฎเซเชฏเซเชเซเชค เช เชจเซ เชฌเชพเชเซเชจเซ เชธเชพเชฐเซ เชเซ. เชเซ เชชเซเชจ เชธเชพเชฐเซ เชนเชถเซ เชคเซ เชนเซเชฐ เชชเซเชจ เชเชฐเซเชฆเชถเซ, เชชเชฐเชเชคเซ เชเซ เชคเซ เชเชพเชฎเซเชฏเซเชเซเชค เชนเชถเซ เชคเซ เชเชฐเซเชฆเชถเซ เชจเชนเซเช. เชฆเซเชเชพเชจเชฆเชพเชฐ เชฏเชพเชฆเชเซเชเชฟเช เชฐเซเชคเซ เชเช เชชเซเชจ เชเชพเชขเซ เชเซ เช เชจเซ เชคเซเชจเซ เชเชชเซ เชเซ.
i) เชคเซ เชชเซเชจ เชเชฐเซเชฆเชถเซ เชคเซเชจเซ เชธเชเชญเชพเชตเชจเชพ เชเซเชเชฒเซ?
ii) เชคเซ เชชเซเชจ เชจเชนเชฟ เชเชฐเซเชฆเซ เชคเซเชจเซ เชธเชเชญเชพเชตเชจเชพ เชเซเชเชฒเซ?
เชเชเซเชฒ:
เชธเซ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชเซเชฒ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ เชฎเซเชณเชตเซเช:
- เชชเซเชจเชจเซ เชเซเชฒ เชธเชเชเซเชฏเชพ = 144
- เชเชพเชฎเซเชฏเซเชเซเชค เชชเซเชจเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ = 20
- เชธเชพเชฐเซ เชชเซเชจเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ = 144 – 20 = 124
i) เชนเซเชฐ เชชเซเชจ เชเชฐเซเชฆเชถเซ เชคเซเชจเซ เชธเชเชญเชพเชตเชจเชพ:
เชนเซเชฐ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ เช เชชเซเชจ เชเชฐเซเชฆเชถเซ เชเซ เชชเซเชจ เชธเชพเชฐเซ เชนเซเชฏ.
เชงเชพเชฐเซ เชเซ เชเชเชจเชพ $A$ : ‘เชนเซเชฐ เชชเซเชจ เชเชฐเซเชฆเซ’
- เชเชเชจเชพ $A$ เชฎเชพเชเซ เชธเชพเชจเซเชเซเชณ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ (เชธเชพเชฐเซ เชชเซเชจ) = 124
- เชเซเชฒ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ = 144$$P(A) = \frac{124}{144}$$เชเซเชฆ เชเชกเชพเชกเชคเชพ (4 เชตเชกเซ เชญเชพเชเชคเชพ):$$P(A) = \frac{31}{36}$$
ii) เชนเซเชฐ เชชเซเชจ เชจเชนเซเช เชเชฐเซเชฆเซ เชคเซเชจเซ เชธเชเชญเชพเชตเชจเชพ:
เชนเซเชฐ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ เชชเซเชจ เชจเชนเซเช เชเชฐเซเชฆเซ เชเซ เชชเซเชจ เชเชพเชฎเซเชฏเซเชเซเชค เชนเซเชฏ.
เชงเชพเชฐเซ เชเซ เชเชเชจเชพ $B$ : ‘เชนเซเชฐ เชชเซเชจ เชจ เชเชฐเซเชฆเซ’
- เชเชเชจเชพ $B$ เชฎเชพเชเซ เชธเชพเชจเซเชเซเชณ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ (เชเชพเชฎเซเชฏเซเชเซเชค เชชเซเชจ) = 20
- เชเซเชฒ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ = 144$$P(B) = \frac{20}{144}$$เชเซเชฆ เชเชกเชพเชกเชคเชพ (4 เชตเชกเซ เชญเชพเชเชคเชพ):$$P(B) = \frac{5}{36}$$
(เชตเซเชเชฒเซเชชเชฟเช เชฐเซเชคเซ: $P(B) = 1 – P(A) = 1 – \frac{31}{36} = \frac{5}{36}$)
เชเชตเชพเชฌ:
- i) เชชเซเชจ เชเชฐเซเชฆเชถเซ เชคเซเชจเซ เชธเชเชญเชพเชตเชจเชพ $\frac{31}{36}$ เชเซ.
- ii) เชชเซเชจ เชจเชนเซเช เชเชฐเซเชฆเซ เชคเซเชจเซ เชธเชเชญเชพเชตเชจเชพ $\frac{5}{36}$ เชเซ.
เชตเชฟเชญเชพเช – C
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซฉเซฎ: เชฌเชนเซเชชเชฆเซ $x^2 – 5$ เชจเชพ เชถเซเชจเซเชฏเซ เชถเซเชงเซ เช เชจเซ เชคเซเชจเชพ เชถเซเชจเซเชฏเซ เช เชจเซ เชธเชนเชเซเชฃเชเซ เชตเชเซเชเซเชจเซ เชธเชเชฌเชเชง เชเชเชพเชธเซ.
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชถเซเชจเซเชฏเซ เชถเซเชงเชตเชพ เชฎเชพเชเซ:
เชฌเชนเซเชชเชฆเซ $p(x) = x^2 – 5$
เชถเซเชจเซเชฏเซ เชถเซเชงเชตเชพ เชฎเชพเชเซ $p(x) = 0$ เชฒเซเชคเชพ:
$$x^2 – 5 = 0$$
$$(x)^2 – (\sqrt{5})^2 = 0$$
เชคเชซเชพเชตเชคเชจเซ เชฐเซเชคเซ เช เชตเชฏเชต เชชเชพเชกเชคเชพ [$a^2 – b^2 = (a-b)(a+b)$]:
$$(x – \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = 0$$
เชคเซเชฅเซ, $x – \sqrt{5} = 0$ เช เชฅเชตเชพ $x + \sqrt{5} = 0$
$x = \sqrt{5}$ เช เชฅเชตเชพ $x = -\sqrt{5}$
เชเชฎ, เชฌเชนเซเชชเชฆเซเชจเชพ เชฌเซ เชถเซเชจเซเชฏเซ $\alpha = \sqrt{5}$ เช เชจเซ $\beta = -\sqrt{5}$ เชเซ.
เซจ. เชถเซเชจเซเชฏเซ เช เชจเซ เชธเชนเชเซเชฃเชเซ เชตเชเซเชเซเชจเซ เชธเชเชฌเชเชง เชเชเชพเชธเชตเซ:
เชฌเชนเซเชชเชฆเซ $x^2 + 0x – 5$ เชจเซ $ax^2 + bx + c$ เชธเชพเชฅเซ เชธเชฐเชเชพเชตเชคเชพ:
$a = 1, b = 0, c = -5$
- เชถเซเชจเซเชฏเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ:$\alpha + \beta = \sqrt{5} + (-\sqrt{5}) = 0$เชธเซเชคเซเชฐ เชฎเซเชเชฌ: $-\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0$เชเชฎ, เชถเซเชจเซเชฏเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ = $-\frac{b}{a}$ (เชเชเชพเชธเชพเชฏ เชเซ)
- เชถเซเชจเซเชฏเซเชจเซ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ:$\alpha \cdot \beta = (\sqrt{5}) \cdot (-\sqrt{5}) = -5$เชธเซเชคเซเชฐ เชฎเซเชเชฌ: $\frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5$เชเชฎ, เชถเซเชจเซเชฏเซเชจเซ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ = $\frac{c}{a}$ (เชเชเชพเชธเชพเชฏ เชเซ)
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซฉเซฏ: เชฌเชนเซเชชเชฆเซเชจเชพ เชถเซเชจเซเชฏเซ $2 + \sqrt{3}$ เช เชจเซ $2 – \sqrt{3}$ เชนเซเชฏ เชคเซเชตเซ เชฆเซเชตเชฟเชเชพเชค เชฌเชนเซเชชเชฆเซ เชถเซเชงเซ.
เชเชเซเชฒ:
เชงเชพเชฐเซ เชเซ เชฆเซเชตเชฟเชเชพเชค เชฌเชนเซเชชเชฆเซเชจเชพ เชถเซเชจเซเชฏเซ $\alpha = 2 + \sqrt{3}$ เช เชจเซ $\beta = 2 – \sqrt{3}$ เชเซ.
เซง. เชถเซเชจเซเชฏเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ ($\alpha + \beta$):
$$\alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 – \sqrt{3})$$
$$\alpha + \beta = 2 + 2 = 4$$
เซจ. เชถเซเชจเซเชฏเซเชจเซ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ ($\alpha \cdot \beta$):
$$\alpha \cdot \beta = (2 + \sqrt{3})(2 – \sqrt{3})$$
เชคเชซเชพเชตเชคเชจเซ เชฐเซเชค เชฎเซเชเชฌ $(a+b)(a-b) = a^2 – b^2$:
$$\alpha \cdot \beta = (2)^2 – (\sqrt{3})^2$$
$$\alpha \cdot \beta = 4 – 3 = 1$$
เซฉ. เชฆเซเชตเชฟเชเชพเชค เชฌเชนเซเชชเชฆเซเชจเซเช เชธเซเชคเซเชฐ:
$$p(x) = k[x^2 – (\alpha + \beta)x + (\alpha\beta)]$$
เชเชฟเชเชฎเชคเซ เชฎเซเชเชคเชพ:
$$p(x) = k[x^2 – 4x + 1]$$
เชเซเชฏเชพเช $k$ เชเซเช เชชเชฃ เชถเซเชจเซเชฏเซเชคเชฐ เชตเชพเชธเซเชคเชตเชฟเช เชธเชเชเซเชฏเชพ เชเซ.
เชเชตเชพเชฌ: เชฎเชพเชเชเซเชฒ เชฆเซเชตเชฟเชเชพเชค เชฌเชนเซเชชเชฆเซ $x^2 – 4x + 1$ เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซชเซฆ: เชเช เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชถเซเชฐเซเชฃเซเชจเชพ เชเซเชฅเชพ เช เชจเซ เชเช เชฎเชพเช เชชเชฆเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ 24 เชเซ เชคเชฅเชพ เชเช เซเช เชพ เช เชจเซ เชฆเชธเชฎเชพ เชชเชฆเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ 44 เชเซ. เช เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชถเซเชฐเซเชฃเซเชจเชพ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชคเซเชฐเชฃ เชชเชฆ เชถเซเชงเซ.
เชเชเซเชฒ:
เชงเชพเชฐเซ เชเซ เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชถเซเชฐเซเชฃเซเชจเซเช เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชชเชฆ $a$ เช เชจเซ เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชคเชซเชพเชตเชค $d$ เชเซ. เชเชชเชฃเซ เชเชพเชฃเซเช เชเซเช เชเซ $n$ เชฎเซเช เชชเชฆ $a_n = a + (n-1)d$ เชฅเชพเชฏ.
เซง. เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชถเชฐเชค เชฎเซเชเชฌ: $a_4 + a_8 = 24$
$$(a + 3d) + (a + 7d) = 24$$
$$2a + 10d = 24$$
เชฌเชเชจเซ เชฌเชพเชเซ 2 เชตเชกเซ เชญเชพเชเชคเชพ:
$$a + 5d = 12 \quad \dots \text{(เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เซง)}$$
เซจ. เชฌเซเชเซ เชถเชฐเชค เชฎเซเชเชฌ: $a_6 + a_{10} = 44$
$$(a + 5d) + (a + 9d) = 44$$
$$2a + 14d = 44$$
เชฌเชเชจเซ เชฌเชพเชเซ 2 เชตเชกเซ เชญเชพเชเชคเชพ:
$$a + 7d = 22 \quad \dots \text{(เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เซจ)}$$
เซฉ. เชธเชฎเซเชเชฐเชฃเซเชจเซ เชเชเซเชฒ:
เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ (เซจ) เชฎเชพเชเชฅเซ เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ (เซง) เชฌเชพเชฆ เชเชฐเชคเชพ:
$$(a + 7d) – (a + 5d) = 22 – 12$$
$$2d = 10 \Rightarrow d = 5$$
เซช. $a$ เชจเซ เชเชฟเชเชฎเชค เชถเซเชงเชตเซ:
$d = 5$ เชจเซ เชเชฟเชเชฎเชค เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ (เซง) เชฎเชพเช เชฎเซเชเชคเชพ:
$$a + 5(5) = 12$$
$$a + 25 = 12$$
$$a = 12 – 25 \Rightarrow a = -13$$
เซซ. เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชคเซเชฐเชฃ เชชเชฆเซ:
- เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชชเชฆ ($a_1$) = $a = -13$
- เชฌเซเชเซเช เชชเชฆ ($a_2$) = $a + d = -13 + 5 = -8$
- เชคเซเชฐเซเชเซเช เชชเชฆ ($a_3$) = $a + 2d = -13 + 10 = -3$
เชเชตเชพเชฌ: เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชถเซเชฐเซเชฃเซเชจเชพ เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชคเซเชฐเชฃ เชชเชฆ -13, -8 เช เชจเซ -3 เชเซ.
เช เชนเซเช เชคเชฎเชพเชฐเซ เชเซเชฒเซเชฒเซ เชเชฌเซเชฎเชพเช เชเชชเซเชฒเชพ เชตเชฟเชญเชพเช – C เชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซชเซง เชจเซ เชธเชเชชเซเชฐเซเชฃ เชเชเซเชฒ เชเซเชเชฐเชพเชคเซเชฎเชพเช เชเซ:
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซชเซง เชเช เชถเชพเชณเชพเชจเชพ เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซเช เชตเชพเชฏเซ เชชเซเชฐเชฆเซเชทเชฃ เชเชเซเช เชเชฐเชตเชพ เชฎเชพเชเซ เชเชเชฟเชฌเชฆเซเชง เชเซ. เช เชฎเชพเชเซ เชถเชพเชณเชพเชฎเชพเช “เชตเซเชเซเชทเชพเชฐเซเชชเชฃ เชเชพเชฐเซเชฏเชเซเชฐเชฎ” เชจเซเช เชเชฏเซเชเชจ เชเชฐเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซเชฏเซเช เชเซ. เชคเซ เชฎเชพเชเซ เชถเชพเชณเชพเชจเชพ เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซเช เชถเชพเชณเชพเชจเซ เช เชเชฆเชฐ เช เชจเซ เชฌเชนเชพเชฐ เชตเซเชเซเชท เชตเชพเชตเชตเชพเชจเซเช เชตเชฟเชเชพเชฐเซ เชเซ. เชเชตเซเช เชจเชเซเชเซ เชเชฐเชพเชฏเซเช เชเซ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซเช เชงเซเชฐเชฃเชจเซ เชชเซเชฐเชคเซเชฏเซเช เชตเชฟเชญเชพเช เชคเซ เชเซ เชงเซเชฐเชฃเชฎเชพเช เชญเชฃเชคเชพ เชนเซเชฏ เชคเซเชเชฒเชพ เชตเซเชเซเชท เชตเชพเชตเชถเซ. เชฆเชพเชเชฒเชพ เชคเชฐเซเชเซ เชงเซเชฐเชฃ I เชจเซ เชตเชฟเชญเชพเช 1 เชตเซเชเซเชท, เชงเซเชฐเชฃ II เชจเซ เชตเชฟเชญเชพเช 2 เชตเซเชเซเชท เช เชจเซ เชเชตเซเช เชงเซเชฐเชฃ XII เชธเซเชงเซ เชเชพเชฒเชถเซ, เชฆเชฐเซเช เชงเซเชฐเชฃเชฎเชพเช เชคเซเชฐเชฃ เชตเชฟเชญเชพเช เชเซ. เช เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซเช เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชเซเชเชฒเชพ เชตเซเชเซเชทเชจเซเช เชตเชพเชตเซเชคเชฐ เชฅเชถเซ?
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชฆเชฐเซเช เชงเซเชฐเชฃ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชตเชตเชพเชคเชพ เชตเซเชเซเชทเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ เชถเซเชงเชตเซ:
เชฆเชฐเซเช เชงเซเชฐเชฃเชฎเชพเช เซฉ เชตเชฟเชญเชพเช เชเซ. เชจเชฟเชฏเชฎ เชฎเซเชเชฌ, เชฆเชฐเซเช เชตเชฟเชญเชพเช เชคเซเชจเชพ เชงเซเชฐเชฃเชจเชพ เชเซเชฐเชฎ เชเซเชเชฒเชพ เชตเซเชเซเชท เชตเชพเชตเชถเซ.
- เชงเซเชฐเชฃ เซง เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ: $1 \times 3 = 3$ เชตเซเชเซเชทเซ
- เชงเซเชฐเชฃ เซจ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ: $2 \times 3 = 6$ เชตเซเชเซเชทเซ
- เชงเซเชฐเชฃ เซฉ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ: $3 \times 3 = 9$ เชตเซเชเซเชทเซ
- … เช เช เชฐเซเชคเซ …
- เชงเซเชฐเชฃ เซงเซจ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ: $12 \times 3 = 36$ เชตเซเชเซเชทเซ
เซจ. เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชถเซเชฐเซเชฃเซ เชฌเชจเชพเชตเชตเซ:
เชเชชเชฐ เชฎเซเชเชฌ เชเชชเชฃเชจเซ เชเช เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชถเซเชฐเซเชฃเซ เชฎเชณเซ เชเซ: $3, 6, 9, 12, \dots, 36$
เช เชนเซเช:
- เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชชเชฆ ($a$) = $3$
- เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชคเชซเชพเชตเชค ($d$) = $6 – 3 = 3$
- เชเซเชฒ เชชเชฆเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ ($n$) = $12$ (เชงเซเชฐเชฃ เซง เชฅเซ เซงเซจ)
- เชเซเชฒเซเชฒเซเช เชชเชฆ ($l$) = $36$
เซฉ. เชเซเชฒ เชตเซเชเซเชทเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ (เชธเชฐเชตเชพเชณเซ) เชถเซเชงเชตเซ:
เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชถเซเชฐเซเชฃเซเชจเชพ เชธเชฐเชตเชพเชณเชพเชจเซเช เชธเซเชคเซเชฐ: $S_n = \frac{n}{2} (a + l)$
เชเชฟเชเชฎเชคเซ เชฎเซเชเชคเชพ:
$$S_{12} = \frac{12}{2} (3 + 36)$$
$$S_{12} = 6 \times (39)$$
$$S_{12} = 234$$
เชเชตเชพเชฌ: เชตเชฟเชฆเซเชฏเชพเชฐเซเชฅเซเช เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชเซเชฒ เซจเซฉเซช เชตเซเชเซเชทเซเชจเซเช เชตเชพเชตเซเชคเชฐ เชฅเชถเซ.
เช เชนเซเช เชคเชฎเชพเชฐเชพ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เช เชชเชฒเซเชก เชเชฐเชพเชฏเซเชฒเซ เชเชฌเซเชเชฎเชพเช เชเชชเซเชฒเชพ เชตเชฟเชญเชพเช – C เชจเชพ เชชเซเชฐเชถเซเชจเซ เซชเซจ เช เชจเซ เซชเซฉ เชจเชพ เชธเชเชชเซเชฐเซเชฃ เชเชเซเชฒ เชเซ:
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซชเซจ: เชเซ $A$ เช เชจเซ $B$ เช เชจเซเชเซเชฐเชฎเซ $(-2, -2)$ เช เชจเซ $(2, -4)$ เชนเซเชฏ, เชเซเชฅเซ $AP = \frac{3}{7}AB$ เชฅเชพเชฏ เช เชจเซ เชฌเชฟเชเชฆเซ $P$ เชฐเซเชเชพเชเชเชก $AB$ เชชเชฐ เชเชตเซเชฒ เชนเซเชฏ, เชคเซเชตเชพ เชฌเชฟเชเชฆเซ $P$ เชจเชพ เชฏเชพเชฎ เชถเซเชงเซ.
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชเซเชฃเซเชคเซเชคเชฐ เชถเซเชงเชตเซ:
เชเชชเซเชฒ เชเซ เชเซ $AP = \frac{3}{7}AB$.
เชเชจเซ เช เชฐเซเชฅ เช เชฅเชพเชฏ เชเซ เชเซ เชเซเชฒ เชฒเชเชฌเชพเช $AB = 7$ เชญเชพเช เชนเซเชฏ, เชคเซ $AP = 3$ เชญเชพเช เชฅเชพเชฏ.
เชคเซเชฅเซ, $PB = AB – AP = 7 – 3 = 4$ เชญเชพเช.
เชเชฎ, เชฌเชฟเชเชฆเซ $P$ เช เชฐเซเชเชพเชเชเชก $AB$ เชจเซเช $AP : PB = 3 : 4$ เชจเชพ เชเซเชฃเซเชคเซเชคเชฐเชฎเชพเช เชตเชฟเชญเชพเชเชจ เชเชฐเซ เชเซ.
เช เชนเซเช $m_1 = 3$ เช เชจเซ $m_2 = 4$.
เซจ. เชตเชฟเชญเชพเชเชจ เชธเซเชคเซเชฐเชจเซ เชเชชเชฏเซเช:
เชฌเชฟเชเชฆเซ $P(x, y)$ เชจเชพ เชฏเชพเชฎ = $\left( \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} \right)$
เช เชนเซเช $A(x_1, y_1) = (-2, -2)$ เช เชจเซ $B(x_2, y_2) = (2, -4)$ เชเซ.
- x-เชฏเชพเชฎ เชฎเชพเชเซ:$x = \frac{3(2) + 4(-2)}{3 + 4} = \frac{6 – 8}{7} = -\frac{2}{7}$
- y-เชฏเชพเชฎ เชฎเชพเชเซ:$y = \frac{3(-4) + 4(-2)}{3 + 4} = \frac{-12 – 8}{7} = -\frac{20}{7}$
เชเชตเชพเชฌ: เชฌเชฟเชเชฆเซ $P$ เชจเชพ เชฏเชพเชฎ $\left( -\frac{2}{7}, -\frac{20}{7} \right)$ เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซชเซฉ: เชธเชพเชฌเชฟเชค เชเชฐเซ เชเซ เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชฌเชนเชพเชฐเชจเชพ เชฌเชฟเชเชฆเซเชฎเชพเชเชฅเซ เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชฆเซเชฐเซเชฒเชพ เชธเซเชชเชฐเซเชถเชเซเชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช เชธเชฎเชพเชจ เชนเซเชฏ เชเซ.
เชธเชพเชฌเชฟเชคเซ:
เซง. เชชเชเซเชท: $O$ เชเซเชจเซเชฆเซเชฐเชตเชพเชณเชพ เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชฌเชนเชพเชฐเชจเชพ เชฌเชฟเชเชฆเซ $P$ เชฎเชพเชเชฅเซ เชฌเซ เชธเซเชชเชฐเซเชถเชเซ $PQ$ เช เชจเซ $PR$ เชฆเซเชฐเซเชฒเชพ เชเซ, เชเซเชฏเชพเช $Q$ เช เชจเซ $R$ เช เชธเซเชชเชฐเซเชถเชฌเชฟเชเชฆเซเช เชเซ.
เซจ. เชธเชพเชงเซเชฏ: $PQ = PR$
เซฉ. เชฐเชเชจเชพ: $OP, OQ$ เช เชจเซ $OR$ เชเซเชกเซ.
เซช. เชธเชพเชฌเชฟเชคเซ:
- เชเชชเชฃเซ เชเชพเชฃเซเช เชเซเช เชเซ เชธเซเชชเชฐเซเชถเชฌเชฟเชเชฆเซเช เชฆเซเชฐเซเชฒเซ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพ เชธเซเชชเชฐเซเชถเชเชจเซ เชฒเชเชฌ เชนเซเชฏ เชเซ.เชคเซเชฅเซ, $\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ$.
- เชนเชตเซ เชเชพเชเชเซเชฃ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃ $\triangle OQP$ เช
เชจเซ $\triangle ORP$ เชฎเชพเช:
- $OQ = OR$ (เชเช เช เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพเช)
- $OP = OP$ (เชธเชพเชฎเชพเชจเซเชฏ เชฌเชพเชเซ)
- $\angle OQP = \angle ORP = 90^\circ$
- เชเชพเชเชฌเชพ (เชเชพเชเชเซเชฃเซ-เชเชฐเซเชฃ-เชฌเชพเชเซ) เชถเชฐเชค เชฎเซเชเชฌ, $\triangle OQP \cong \triangle ORP$ (เชเชเชฐเซเชช เชเซ).
- เชเชเชฐเซเชช เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃเชจเชพ เช เชจเซเชฐเซเชช เช เชเชเซ เชธเชฎเชพเชจ เชนเซเชฏ (CPCT), เชคเซเชฅเซ:$PQ = PR$
เชเชฎ, เชธเชพเชฌเชฟเชค เชฅเชพเชฏ เชเซ เชเซ เชฌเชนเชพเชฐเชจเชพ เชฌเชฟเชเชฆเซเชฎเชพเชเชฅเซ เชฆเซเชฐเซเชฒเชพ เชธเซเชชเชฐเซเชถเชเซเชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช เชธเชฎเชพเชจ เชนเซเชฏ เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซชเซช: เชเชเซเชคเชฟเชฎเชพเช เชฆเชฐเซเชถเชพเชตเซเชฏเชพ เชชเซเชฐเชฎเชพเชฃเซ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃ ABC เช 4 เชธเซเชฎเซ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพเชตเชพเชณเชพ เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชชเชฐเชฟเชเชค เชเซ. เชธเซเชชเชฐเซเชถเชฌเชฟเชเชฆเซ D เช BC เชจเซเช 8 เชธเซเชฎเซ เช เชจเซ 6 เชธเซเชฎเซ เชฒเชเชฌเชพเชเชจเชพ เชฐเซเชเชพเชเชเชกเซ เช เชจเซเชเซเชฐเชฎเซ BD เช เชจเซ DC เชฎเชพเช เชตเชฟเชญเชพเชเชจ เชเชฐเซ เชเซ. เชฌเชพเชเซเช AB เช เชจเซ AC เชถเซเชงเซ.
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชธเซเชชเชฐเซเชถเชเซเชจเชพ เชเซเชฃเชงเชฐเซเชฎเซเชจเซ เชเชชเชฏเซเช:
เชตเชฐเซเชคเซเชณเชจเซ เชฌเชนเชพเชฐเชจเชพ เชฌเชฟเชเชฆเซเชฎเชพเชเชฅเซ เชฆเซเชฐเซเชฒเชพ เชธเซเชชเชฐเซเชถเชเซเชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช เชธเชฎเชพเชจ เชนเซเชฏ เชเซ.
- $CD = CF = 6$ เชธเซเชฎเซ (เชฌเชฟเชเชฆเซ $C$ เชฎเชพเชเชฅเซ เชธเซเชชเชฐเซเชถเชเซ)
- $BD = BE = 8$ เชธเซเชฎเซ (เชฌเชฟเชเชฆเซ $B$ เชฎเชพเชเชฅเซ เชธเซเชชเชฐเซเชถเชเซ)
- เชงเชพเชฐเซ เชเซ $AF = AE = x$ เชธเซเชฎเซ (เชฌเชฟเชเชฆเซ $A$ เชฎเชพเชเชฅเซ เชธเซเชชเชฐเซเชถเชเซ)
เซจ. เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃเชจเซ เชฌเชพเชเซเช:
- $a = BC = 6 + 8 = 14$ เชธเซเชฎเซ
- $b = AC = x + 6$ เชธเซเชฎเซ
- $c = AB = x + 8$ เชธเซเชฎเซ
เซฉ. เชนเซเชฐเซเชจเชจเชพ เชธเซเชคเซเชฐ เชฎเชพเชเซ เช เชฐเซเชงเชชเชฐเชฟเชฎเชฟเชคเชฟ ($s$):
$$s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{14 + (x + 6) + (x + 8)}{2} = \frac{2x + 28}{2} = x + 14 \text{ เชธเซเชฎเซ}$$
เซช. เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃ $ABC$ เชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ (เชนเซเชฐเซเชจเชจเซเช เชธเซเชคเซเชฐ):
$$\text{เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
$$= \sqrt{(x+14)(x+14-14)(x+14-x-6)(x+14-x-8)}$$
$$= \sqrt{(x+14)(x)(8)(6)}$$
$$= \sqrt{48x(x+14)} \quad \dots (1)$$
เซซ. เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃ $ABC$ เชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ (เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพเชจเซ เชฎเชฆเชฆเชฅเซ):
เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃ $ABC$ เชจเซเช เชเซเชฒ เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ = $\triangle OBC$ เชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ + $\triangle OCA$ เชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ + $\triangle OAB$ เชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ
$$\text{เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ} = \frac{1}{2} \times \text{เชชเชพเชฏเซ} \times \text{เชตเซเชง (เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพ } r=4)$$
$$= \frac{1}{2}(14)(4) + \frac{1}{2}(x+6)(4) + \frac{1}{2}(x+8)(4)$$
$$= 28 + 2x + 12 + 2x + 16 = 4x + 56 = 4(x+14) \quad \dots (2)$$
เซฌ. เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ เซง เช เชจเซ เซจ เชจเซ เชธเชฐเชเชพเชตเชคเชพ:
$$\sqrt{48x(x+14)} = 4(x+14)$$
เชฌเชเชจเซ เชฌเชพเชเซ เชตเชฐเซเช เชเชฐเชคเชพ:
$$48x(x+14) = 16(x+14)^2$$
$$3x = x + 14$$
(เชเชพเชฐเชฃ เชเซ $x+14 \neq 0$)
$$2x = 14 \Rightarrow x = 7 \text{ เชธเซเชฎเซ}$$
เซญ. เชฌเชพเชเซเชเชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช:
- $AC = x + 6 = 7 + 6 = 13$ เชธเซเชฎเซ
- $AB = x + 8 = 7 + 8 = 15$ เชธเซเชฎเซ
เชเชตเชพเชฌ: เชฌเชพเชเซ AB เชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช 15 เชธเซเชฎเซ เช เชจเซ AC เชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช 13 เชธเซเชฎเซ เชเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซชเซซ: เซงเซฆ เชธเซเชฎเซ เชฒเชเชฌเชพเชเชจเซ เชเซเชตเชพ เชเซเชจเซเชฆเซเชฐ เชเชเชณ เชเชพเชเชเซเชฃเซ เชเชเชคเชฐเซ เชเซ. เชคเซเชจเซ เช เชจเซเชฐเซเชช i) เชฒเชเซ เชตเซเชคเซเชคเชเชเชก เช เชจเซ ii) เชเซเชฐเซ เชตเซเชคเซเชคเชพเชเชถเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ เชถเซเชงเซ. ($\pi = 3.14$ เชฒเซ)
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฏเชพ ($r$) เชถเซเชงเชตเซ:
เช เชนเซเช เชเชชเซเชฒ เชเซ เชเซ เชเซเชตเชพ ($AB = 10$ เชธเซเชฎเซ) เชเซเชจเซเชฆเซเชฐ $O$ เชเชเชณ เชเชพเชเชเซเชฃเซ ($\theta = 90^\circ$) เชฌเชจเชพเชตเซ เชเซ.
เชเชพเชเชเซเชฃ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃ $OAB$ เชฎเชพเช เชชเชพเชฏเชฅเชพเชเซเชฐเชธเชจเชพ เชชเซเชฐเชฎเซเชฏ เชฎเซเชเชฌ:
$$OA^2 + OB^2 = AB^2$$
$$r^2 + r^2 = 10^2$$
$$2r^2 = 100 \Rightarrow r^2 = 50$$
$$r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ เชธเซเชฎเซ}$$
เซจ. เชฒเชเซ เชตเซเชคเซเชคเชพเชเชถเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ:
$$\text{เชฒเชเซ เชตเซเชคเซเชคเชพเชเชถเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ} = \frac{\pi r^2 \theta}{360}$$
$$= \frac{3.14 \times 50 \times 90}{360}$$
$$= \frac{3.14 \times 50}{4} = \frac{157}{4} = 39.25 \text{ เชธเซเชฎเซ}^2$$
เซฉ. เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃ $OAB$ เชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ:
$$\triangle OAB \text{ เชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ} = \frac{1}{2} \times \text{เชชเชพเชฏเซ} \times \text{เชตเซเชง}$$
$$= \frac{1}{2} \times r \times r = \frac{1}{2} \times 50 = 25 \text{ เชธเซเชฎเซ}^2$$
เซช. i) เชฒเชเซ เชตเซเชคเซเชคเชเชเชกเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ:
$$\text{เชฒเชเซ เชตเซเชคเซเชคเชเชเชกเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ} = \text{เชฒเชเซ เชตเซเชคเซเชคเชพเชเชถเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ} – \triangle OAB \text{ เชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ}$$
$$= 39.25 – 25 = 14.25 \text{ เชธเซเชฎเซ}^2$$
เซซ. ii) เชเซเชฐเซ เชตเซเชคเซเชคเชพเชเชถเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ:
เชเซเชฐเซ เชตเซเชคเซเชคเชพเชเชถ เชฎเชพเชเซเชจเซ เชเซเชฃเซ = $360^\circ – 90^\circ = 270^\circ$.
$$\text{เชเซเชฐเซ เชตเซเชคเซเชคเชพเชเชถเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ} = \frac{\pi r^2 \theta}{360}$$
$$= \frac{3.14 \times 50 \times 270}{360}$$
$$= \frac{3.14 \times 50 \times 3}{4}$$
$$= 39.25 \times 3 = 117.75 \text{ เชธเซเชฎเซ}^2$$
เชเชตเชพเชฌ:
- i) เชฒเชเซ เชตเซเชคเซเชคเชเชเชกเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ = 14.25 เชธเซเชฎเซ$^2$
- ii) เชเซเชฐเซ เชตเซเชคเซเชคเชพเชเชถเชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ = 117.75 เชธเซเชฎเซ$^2$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ เซชเซฌ: เชเช เชญเซเชฐเซ เช เชจเซ เชเช เชฐเชพเชเซเชกเซ เชเชฎ เชฌเซ เชชเชพเชธเชพเชจเซ เชเช เชธเชพเชฅเซ เชเชเชพเชณเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ เชเซ. เชจเซเชเซเชจเซ เชธเชเชญเชพเชตเชจเชพเช เชถเซเชงเซ.
i) เชชเชพเชธเชพ เชชเชฐเชจเชพ เช เชเชเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ 13 เชนเซเชฏ.
ii) เชชเชพเชธเชพ เชชเชฐ เชธเชฎเชพเชจ เช เชเชเซ เชนเซเชฏ.
iii) เชชเชพเชธเชพ เชชเชฐเชจเชพ เช เชเชเซเชจเซ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ เชฏเซเชเซเชฎ เชนเซเชฏ.
เชเชเซเชฒ:
เชเซเชฏเชพเชฐเซ เชฌเซ เชชเชพเชธเชพเชจเซ เชเช เชธเชพเชฅเซ เชเชเชพเชณเชตเชพเชฎเชพเช เชเชตเซ, เชคเซเชฏเชพเชฐเซ เชฎเชณเชคเชพ เชเซเชฒ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ = $6 \times 6 = 36$ เชฅเชพเชฏ.
i) เชชเชพเชธเชพ เชชเชฐเชจเชพ เช เชเชเซเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ 13 เชนเซเชฏ:
- เชชเชพเชธเชพ เชชเชฐเชจเซ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เช เชเช 6 เชเซ, เชคเซเชฅเซ เชฎเชนเชคเซเชคเชฎ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ $6 + 6 = 12$ เช เชนเซเช เชถเชเซ.
- เชธเชฐเชตเชพเชณเซ 13 เชฅเชพเชฏ เชคเซเชตเซเช เชเช เชชเชฃ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ เชถเชเซเชฏ เชจเชฅเซ.
- เชธเชพเชจเซเชเซเชณ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ = 0
- เชธเชเชญเชพเชตเชจเชพ $P(i) = \frac{0}{36} = 0$ (เช เชถเชเซเชฏ เชเชเชจเชพ)
ii) เชชเชพเชธเชพ เชชเชฐ เชธเชฎเชพเชจ เช เชเชเซ เชนเซเชฏ (Doublets):
- เชธเชพเชจเซเชเซเชณ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)
- เชธเชพเชจเซเชเซเชณ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซเชจเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ = 6
- เชธเชเชญเชพเชตเชจเชพ $P(ii) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
iii) เชชเชพเชธเชพ เชชเชฐเชจเชพ เช เชเชเซเชจเซ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ เชฏเซเชเซเชฎ (เชฌเซเชเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ) เชนเซเชฏ:
- เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ เชคเซเชฏเชพเชฐเซ เช เช เชฏเซเชเซเชฎ (เชเชเซ) เชนเซเชฏ เชเซ เชฌเชเชจเซ เชชเชพเชธเชพ เชชเชฐ เชเชเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ (1, 3, 5) เชนเซเชฏ.
- เช เชฏเซเชเซเชฎ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐเชจเชพ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ: (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5) = เชเซเชฒ 9 เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ.
- เชคเซเชฅเซ, เชฏเซเชเซเชฎ เชเซเชฃเชพเชเชพเชฐ เชจเชพ เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎเซ = $36 – 9 = 27$.
- เชธเชเชญเชพเชตเชจเชพ $P(iii) = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ (เช เชฅเชตเชพ 0.75)
เชตเชฟเชญเชพเช – D
เชชเซเชฐเชถเซเชจ 47: เชเซเชเซเชธเซเชจเซเช เชญเชพเชกเซเช เชจเชฟเชถเซเชเชฟเชค เชญเชพเชกเซเช เช เชจเซ เชเชพเชชเซเชฒเชพ เช เชเชคเชฐเชจเชพ เชธเชเชฏเซเชเซเชค เชฐเซเชคเซ เชฒเซเชตเชพเชฏ เชเซ. 10 เชเชฟ.เชฎเซ. เชฎเชพเชเซ โน 105 เช เชจเซ 15 เชเชฟ.เชฎเซ. เชฎเชพเชเซ โน 155 เชญเชพเชกเซเช เชเซเชเชตเชตเซเช เชชเชกเซ เชเซ. เชคเซ เชจเชฟเชถเซเชเชฟเชค เชญเชพเชกเซเช เช เชจเซ เชชเซเชฐเชคเชฟ เชเชฟ.เชฎเซ. เชฆเชฐ เชถเซเชงเซ. 25 เชเชฟ.เชฎเซ.เชจเซ เชฎเซเชธเชพเชซเชฐเซ เชฎเชพเชเซ เชเซเชเชฒเซเช เชญเชพเชกเซเช เชเซเชเชตเชตเซเช เชชเชกเชถเซ?
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชงเชพเชฐเชฃเชพ เชเชฐเซ:
- เชงเชพเชฐเซ เชเซ เชเซเชเซเชธเซเชจเซเช เชจเชฟเชถเซเชเชฟเชค เชญเชพเชกเซเช = โน $x$
- เชชเซเชฐเชคเชฟ เชเชฟ.เชฎเซ. เชฎเซเชธเชพเชซเชฐเซเชจเซ เชฆเชฐ = โน $y$
เซจ. เชธเชฎเซเชเชฐเชฃเซ เชฌเชจเชพเชตเชคเชพ:
- เชถเชฐเชค เซง: 10 เชเชฟ.เชฎเซ. เช เชเชคเชฐ เชฎเชพเชเซ เชเซเชฒ เชญเชพเชกเซเช โน 105 เชเซ.$$x + 10y = 105 \quad \dots (1)$$
- เชถเชฐเชค เซจ: 15 เชเชฟ.เชฎเซ. เช เชเชคเชฐ เชฎเชพเชเซ เชเซเชฒ เชญเชพเชกเซเช โน 155 เชเซ.$$x + 15y = 155 \quad \dots (2)$$
เซฉ. เชธเชฎเซเชเชฐเชฃเซเชจเซ เชเชเซเชฒ (เชฒเซเชชเชจเซ เชฐเซเชค):
เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ (2) เชฎเชพเชเชฅเซ เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ (1) เชฌเชพเชฆ เชเชฐเชคเชพ:
$$(x + 15y) – (x + 10y) = 155 – 105$$
$$5y = 50$$
$$y = \frac{50}{5} = 10$$
เชคเซเชฅเซ, เชฎเซเชธเชพเชซเชฐเซเชจเซ เชฆเชฐ โน 10 เชชเซเชฐเชคเชฟ เชเชฟ.เชฎเซ. เชเซ.
เซช. เชจเชฟเชถเซเชเชฟเชค เชญเชพเชกเซเช ($x$) เชถเซเชงเชตเซเช:
$y = 10$ เชจเซ เชเชฟเชเชฎเชค เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ (1) เชฎเชพเช เชฎเซเชเชคเชพ:
$$x + 10(10) = 105$$
$$x + 100 = 105$$
$$x = 105 – 100 = 5$$
เชคเซเชฅเซ, เชจเชฟเชถเซเชเชฟเชค เชญเชพเชกเซเช โน 5 เชเซ.
เซซ. 25 เชเชฟ.เชฎเซ.เชจเซ เชฎเซเชธเชพเชซเชฐเซ เชฎเชพเชเซ เชญเชพเชกเซเช:
$$25 \text{ เชเชฟ.เชฎเซ. เชจเซเช เชญเชพเชกเซเช} = x + 25y$$
$$= 5 + 25(10)$$
$$= 5 + 250 = 255$$
เชเชตเชพเชฌ:
- เชจเชฟเชถเซเชเชฟเชค เชญเชพเชกเซเช โน 5 เชเซ.
- เชชเซเชฐเชคเชฟ เชเชฟ.เชฎเซ. เชฆเชฐ โน 10 เชเซ.
- 25 เชเชฟ.เชฎเซ.เชจเซ เชฎเซเชธเชพเชซเชฐเซ เชฎเชพเชเซ โน 255 เชญเชพเชกเซเช เชเซเชเชตเชตเซเช เชชเชกเชถเซ.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ 48: เชฌเซ เช เชเชเซเชจเซ เชเช เชธเชเชเซเชฏเชพ เช เชจเซ เชคเซ เช เชเชเซเชจเซ เช เชฆเชฒเชพเชฌเชฆเชฒเซ เชเชฐเชคเชพเช เชฎเชณเชคเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ 66 เชเซ. เชเซ เชคเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเชจเชพ เช เชเชเซเชจเซ เชคเชซเชพเชตเชค 2 เชนเซเชฏ เชคเซ เชคเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ เชถเซเชงเซ. เชเชตเซ เชเซเชเชฒเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเช เชเซ?
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชงเชพเชฐเชฃเชพ เชเชฐเซ:
- เชงเชพเชฐเซ เชเซ เชฆเชถเชเชจเซ เช เชเช = $x$
- เชเชเชฎเชจเซ เช เชเช = $y$
- เชคเซเชฅเซ, เชฎเซเชณ เชธเชเชเซเชฏเชพ = $10x + y$
- เช เชเชเซเชจเซ เช เชฆเชฒเชพเชฌเชฆเชฒเซ เชเชฐเชคเชพเช เชฎเชณเชคเซ เชจเชตเซ เชธเชเชเซเชฏเชพ = $10y + x$
เซจ. เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชถเชฐเชค เชฎเซเชเชฌ (เชธเชฐเชตเชพเชณเซ 66 เชเซ):
$$(10x + y) + (10y + x) = 66$$
$$11x + 11y = 66$$
เชฌเชเชจเซ เชฌเชพเชเซ 11 เชตเชกเซ เชญเชพเชเชคเชพ:
$$x + y = 6 \quad \dots (1)$$
เซฉ. เชฌเซเชเซ เชถเชฐเชค เชฎเซเชเชฌ (เช เชเชเซเชจเซ เชคเชซเชพเชตเชค 2 เชเซ):
เช เชนเซเช เชฌเซ เชถเชเซเชฏเชคเชพเช เชฐเชนเซเชฒเซ เชเซ:
- เชเชฟเชธเซเชธเซ เซง: $x – y = 2 \quad \dots (2)$
- เชเชฟเชธเซเชธเซ เซจ: $y – x = 2 \quad \dots (3)$
เซช. เชเชเซเชฒ:
- เชเชฟเชธเซเชธเซ เซง เชฎเชพเชเซ: เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ (1) เช เชจเซ (2) เชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ เชเชฐเชคเชพ:$2x = 8 \Rightarrow x = 4$$x$ เชจเซ เชเชฟเชเชฎเชค (1) เชฎเชพเช เชฎเซเชเชคเชพ, $4 + y = 6 \Rightarrow y = 2$.เชฎเซเชณ เชธเชเชเซเชฏเชพ = 42
- เชเชฟเชธเซเชธเซ เซจ เชฎเชพเชเซ: เชธเชฎเซเชเชฐเชฃ (1) เช เชจเซ (3) เชจเซ เชธเชฐเชตเชพเชณเซ เชเชฐเชคเชพ:$2y = 8 \Rightarrow y = 4$$y$ เชจเซ เชเชฟเชเชฎเชค (1) เชฎเชพเช เชฎเซเชเชคเชพ, $x + 4 = 6 \Rightarrow x = 2$.เชฎเซเชณ เชธเชเชเซเชฏเชพ = 24
เชเชตเชพเชฌ: เชเชตเซ เชฌเซ เชธเชเชเซเชฏเชพเช เชเซ: 42 เช เชจเซ 24.
เชชเซเชฐเชถเซเชจ 49: เชฅเซเชฒเซเชธเชจเซเช เชชเซเชฐเชฎเซเชฏ (เชชเชพเชฏเชพเชจเซเช เชธเชฎเชพเชจเซเชชเชพเชคเชเชคเชพเชจเซเช เชชเซเชฐเชฎเซเชฏ) เชฒเชเซ เช เชจเซ เชธเชพเชฌเชฟเชค เชเชฐเซ.
เชชเซเชฐเชคเชฟเชเซเชเชพ: เชเซ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃเชจเซ เชเซเช เชเช เชฌเชพเชเซเชจเซ เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชฆเซเชฐเซเชฒเซ เชฐเซเชเชพ เชฌเชพเชเซเชจเซ เชฌเซ เชฌเชพเชเซเชเชจเซ เชญเชฟเชจเซเชจ เชฌเชฟเชเชฆเซเชเชฎเชพเช เชเซเชฆเซ, เชคเซ เชคเซ เชฌเชพเชเซเช เชชเชฐ เชเชชเชพเชคเชพ เชฐเซเชเชพเชเชเชกเซ เชคเซ เชฌเชพเชเซเชเชจเซเช เชธเชฎเชพเชจ เชเซเชฃเซเชคเซเชคเชฐเชฎเชพเช เชตเชฟเชญเชพเชเชจ เชเชฐเซ เชเซ.
เชธเชพเชฌเชฟเชคเซ:
เซง. เชชเชเซเชท: $\triangle ABC$ เชฎเชพเช เชฌเชพเชเซ $BC$ เชจเซ เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชฐเซเชเชพ เชฌเชพเชเซเชจเซ เชฌเซ เชฌเชพเชเซเช $AB$ เช เชจเซ $AC$ เชจเซ เช เชจเซเชเซเชฐเชฎเซ $D$ เช เชจเซ $E$ เชฎเชพเช เชเซเชฆเซ เชเซ.
เซจ. เชธเชพเชงเซเชฏ: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
เซฉ. เชฐเชเชจเชพ: $BE$ เช เชจเซ $CD$ เชเซเชกเซ. $EN \perp AB$ เช เชจเซ $DM \perp AC$ เชฆเซเชฐเซ.
เซช. เชเชฃเชคเชฐเซ:
- $\triangle ADE$ เชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ $= \frac{1}{2} \times \text{เชชเชพเชฏเซ} \times \text{เชตเซเชง} = \frac{1}{2} \times AD \times EN$
- $\triangle BDE$ เชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ $= \frac{1}{2} \times DB \times EN$
- เชเซเชฃเซเชคเซเชคเชฐ เชฒเซเชคเชพ: $\frac{\text{ar}(ADE)}{\text{ar}(BDE)} = \frac{AD}{DB} \quad \dots (1)$
- เชคเซเชตเซ เช เชฐเซเชคเซ, $\triangle ADE$ เชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ $= \frac{1}{2} \times AE \times DM$
- $\triangle CDE$ เชจเซเช เชเซเชทเซเชคเซเชฐเชซเชณ $= \frac{1}{2} \times EC \times DM$
- เชเซเชฃเซเชคเซเชคเชฐ เชฒเซเชคเชพ: $\frac{\text{ar}(ADE)}{\text{ar}(CDE)} = \frac{AE}{EC} \quad \dots (2)$
เซซ. เชจเชฟเชทเซเชเชฐเซเชท:
- $\triangle BDE$ เช เชจเซ $\triangle CDE$ เชเช เช เชชเชพเชฏเชพ $DE$ เชชเชฐ เช เชจเซ เชฌเซ เชธเชฎเชพเชเชคเชฐ เชฐเซเชเชพเช $DE$ เช เชจเซ $BC$ เชจเซ เชตเชเซเชเซ เชเชตเซเชฒเชพ เชเซ.
- เชคเซเชฅเซ, $\text{ar}(BDE) = \text{ar}(CDE)$
- เชชเชฐเชฟเชฃเชพเชฎ (1) เช เชจเซ (2) เชชเชฐเชฅเซ เชธเชพเชฌเชฟเชค เชฅเชพเชฏ เชเซ เชเซ: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$
เชชเซเชฐเชถเซเชจ 50 เช เชจเชฟเชฒเชจเซ เชเชเชเชพเช 90 เชธเซเชฎเซ เชเซ. เชคเซ เชเช เชตเซเชเชณเซเชจเชพ เชฅเชพเชเชญเชฒเชพเชจเชพ เชคเชณเชฟเชฏเซเชฅเซ 1.2 เชฎเซ/เชธเซ เชจเซ เชเชกเชชเชฅเซ เชฆเซเชฐ เชเช เชฐเชนเซเชฏเซ เชเซ. เชเซ เชตเซเชเชณเซเชจเซ เชเซเชณเซ เชเชฎเซเชจเชจเชพ เชธเชฎเชคเชฒเชฅเซ 3.6 เชฎเซเชเชฐ เชเชเชเซ เชนเซเชฏ, เชคเซ 4 เชธเซเชเชจเซเชก เชชเชเซ เช เชจเชฟเชฒเชจเชพ เชชเชกเชเชพเชฏเชพเชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช เชถเซเชงเซ.
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชเชชเซเชฒเซ เชตเชฟเชเชคเซ:
- เชฅเชพเชเชญเชฒเชพเชจเซ เชเชเชเชพเช ($AB$) = 3.6 เชฎเซเชเชฐ.
- เช เชจเชฟเชฒเชจเซ เชเชเชเชพเช ($CD$) = 90 เชธเซเชฎเซ = 0.9 เชฎเซเชเชฐ.
- เช เชจเชฟเชฒเชจเซ เชเชกเชช = 1.2 เชฎเซ/เชธเซ.
- เชธเชฎเชฏ = 4 เชธเซเชเชจเซเชก.
- 4 เชธเซเชเชจเซเชกเชฎเชพเช เช เชจเชฟเชฒ เชฆเซเชตเชพเชฐเชพ เชเชชเชพเชฏเซเชฒ เช เชเชคเชฐ ($BD$) = $\text{เชเชกเชช} \times \text{เชธเชฎเชฏ} = 1.2 \times 4 = 4.8$ เชฎเซเชเชฐ.
- เชงเชพเชฐเซ เชเซ เช เชจเชฟเชฒเชจเชพ เชชเชกเชเชพเชฏเชพเชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช ($DE$) = $x$ เชฎเซเชเชฐ.
เซจ. เชธเชฎเชฐเซเชช เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃเชจเซ เชเชชเชฏเซเช:
เช เชนเซเช, $\triangle ABE \sim \triangle CDE$ (เชเซ-เชเซ เชถเชฐเชค เชฎเซเชเชฌ)
เชคเซเชฅเซ, เชคเซเชฎเชจเซ เช เชจเซเชฐเซเชช เชฌเชพเชเซเชเชจเซ เชเซเชฃเซเชคเซเชคเชฐ เชธเชฎเชพเชจ เชนเซเชฏ:
$$\frac{AB}{CD} = \frac{BE}{DE}$$
เซฉ. เชเชฟเชเชฎเชคเซ เชฎเซเชเชคเชพ:
$$\frac{3.6}{0.9} = \frac{BD + DE}{DE}$$
$$4 = \frac{4.8 + x}{x}$$
$$4x = 4.8 + x$$
$$4x – x = 4.8$$
$$3x = 4.8$$
$$x = \frac{4.8}{3} = 1.6 \text{ เชฎเซเชเชฐ}$$
เชเชตเชพเชฌ: 4 เชธเซเชเชจเซเชก เชชเชเซ เช เชจเชฟเชฒเชจเชพ เชชเชกเชเชพเชฏเชพเชจเซ เชฒเชเชฌเชพเช 1.6 เชฎเซเชเชฐ เชนเชถเซ.
เซซเซง) เชเช เชธเซเชฐเซเช เชฎเชพเชฐเซเช เชเชพเชตเชฐ เชคเชฐเชซ เชเชพเชฏ เชเซ. เชเชพเชตเชฐเชจเซ เชเซเช เชชเชฐ เชฐเชนเซเชฒ เชฐเซเชฆเซเชฐ, เชเชพเชฐเชจเชพ เช เชตเชธเซเชงเชเซเชฃเชจเซเช เชฎเชพเชช เซฉเซฆ$^\circ$ เชจเซเชเชงเซ เชเซ. เซฌ เชธเซเชเชจเซเชก เชชเชเซ เช เชเชพเชฐเชจเชพ เช เชตเชธเซเชงเชเซเชฃเชจเซเช เชฎเชพเชช เซฌเซฆ$^\circ$ เชฅเชพเชฏ เชเซ, เชคเซ เชนเชตเซ เชเชพเชฐเชจเซ เชเชพเชตเชฐ เชธเซเชงเซ เชชเชนเซเชเชเชคเชพ เชเซเชเชฒเซ เชธเชฎเชฏ เชฒเชพเชเชถเซ?
เชเชเซเชฒ:
เซง. เชงเชพเชฐเซ เชเซ เชเชพเชตเชฐเชจเซ เชเชเชเชพเช = $h$ เชฎเซ.
เซจ. เชชเซเชฐเชฅเชฎ เชธเซเชฅเชพเชจเซ เชเซเชฃเซ เซฉเซฆ$^\circ$, เชฌเซเชเชพ เชธเซเชฅเชพเชจเซ เซฌเซฆ$^\circ$.
เซฉ. เซฌเซฆ$^\circ$ เชเซเชฃเชพเชตเชพเชณเชพ เชเชพเชเชเซเชฃ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃเชฎเชพเช, $\tan เซฌเซฆ^\circ = \frac{h}{d} \Rightarrow h = d\sqrt{เซฉ}$.
เซช. เซฉเซฆ$^\circ$ เชเซเชฃเชพเชตเชพเชณเชพ เชเชพเชเชเซเชฃ เชคเซเชฐเชฟเชเซเชฃเชฎเชพเช, $\tan เซฉเซฆ^\circ = \frac{h}{เซฌv+d} \Rightarrow \frac{เซง}{\sqrt{เซฉ}} = \frac{d\sqrt{เซฉ}}{เซฌv+d}$.
เซซ. $เซฌv+d = เซฉd \Rightarrow เซจd = เซฌv \Rightarrow d=เซฉv$.
เซฌ. เชเซ $เซฉv$ เช เชเชคเชฐ เชเชพเชชเชคเชพ เซฌ เชธเซเชเชจเซเชก เชฒเชพเชเซ, เชคเซ $d$ เช เชเชคเชฐ เชเชพเชชเชคเชพ (เชเซ เซฉ$v$ เชเซ) เชคเซเชเชฒเซ เช เชธเชฎเชฏ เชฒเชพเชเชถเซ? เชจเชพ, $d$ เช เชเชคเชฐ เชเชพเชชเซเชฏเซเช เชคเซเชฏเชพเชฐเซ เซฌ เชธเซเชเชจเซเชก เชฒเชพเชเซเชฏเชพ. เชฌเชพเชเซเชจเซเช เช เชเชคเชฐ $d$ เชเชพเชชเชตเชพ เชธเชฎเชฏ เชถเซเชงเชตเชพเชจเซ เชเซ. $เซจd = เซฌv$ เชเชเชฒเซ $d=เซฉv$. เช เชเชคเชฐ $d$ เชเชพเชชเชคเชพ เชฒเชพเชเชคเซ เชธเชฎเชฏ เซฉ เชธเซเชเชจเซเชก เชฅเชพเชฏ.
เชเชตเชพเชฌ: เชเชพเชตเชฐ เชธเซเชงเซ เชชเชนเซเชเชเชคเชพ เซฉ เชธเซเชเชจเซเชก เชฒเชพเชเชถเซ.
Leave a Reply