Maths class 10th exam paper 2025 gujarati medium

Maths class 10th 12(G) Feb-March 2025 exam paper

📝 વિભાગ – A (ગુણ: 24)

સૂચના મુજબ જવાબ આપો: (પ્રશ્નક્રમાંક: 1 થી 24) (દરેક સાચા ઉત્તરનો 1 ગુણ)

નીચે આપેલા બહુવિકલ્પ જવાબવાળા પ્રશ્નો માટે સાચા વિકલ્પનો ક્રમ અને જવાબ લખો. (પ્રશ્નક્રમાંક: 1 થી 6)

1) જો ગુ.સા.અ. $(96,k)=4$ અને લ.સા.અ. (96, k) = 9696 હોય તો $k=$ 111

(A) 96

(B) 440

(D) 4

ઉકેલ: આપણે જાણીએ છીએ કે બે ધન પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ માટે, $a \times b = \text{ગુ.સા.અ.}(a, b) \times \text{લ.સા.અ.}(a, b)$ થાય. ⁶⁶⁶અહીં $a=96$, $b=k$, $\text{ગુ.સા.અ.}=4$, અને $\text{લ.સા.અ.}=9696$. ⁷$$96 \times k = 4 \times 9696$$$$k = \frac{4 \times 9696}{96}$$$$k = 4 \times 101$$$$k = 404$$
જવાબ: (C) 404

2) દ્વિઘાત બહુપદી $6x^2 – 3 – 7x$ ના શૂન્યો $\alpha$ અને $\beta$ હોય તો $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=$ 9

(A) $\frac{3}{6}$ 10

(B) $-\frac{7}{3}$ 11

(D) 2

ઉકેલ: બહુપદીને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $6x^2 – 7x – 3$. 14અહીં $a=6$, $b=-7$, $c=-3$ છે.શૂન્યોનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = -\frac{(-7)}{6} = \frac{7}{6}$શૂન્યોનો ગુણાકાર: $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$હવે, $\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} = \frac{\beta + \alpha}{\alpha\beta} = \frac{7/6}{-1/2} = \frac{7}{6} \times (-2) = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}$
જવાબ: (B) $-\frac{7}{3}$

3) $27x+63y=45$ અને $63x+27y=135$ હોય તો $x+y=$ 16

(A) 90

(B) 180

(D) $\frac{1}{2}$

ઉકેલ: આપેલા સમીકરણોનો સરવાળો કરતાં:$$(27x+63y) + (63x+27y) = 45 + 135$$$$90x + 90y = 180$$$$90(x+y) = 180$$$$x+y = \frac{180}{90}$$$$x+y = 2$$
જવાબ: (C) 2

4) જો સમીકરણ $2x^{2}+5x-k=0$ નો વિવેચક 81 હોય તો $k=$ 22

(A) 5

(B) 7

(D) -5

ઉકેલ: દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ નો વિવેચક $D = b^2 – 4ac$ છે. અહીં $a=2$, $b=5$, $c=-k$ અને $D=81$ છે. $$81 = (5)^2 – 4(2)(-k)$$$$81 = 25 + 8k$$$$8k = 81 – 25$$$$8k = 56$$$$k = \frac{56}{8}$$$$k = 7$$
જવાબ: (B) 7

5) વિધાન P : પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $n^{2}$ છે. વિધાન Q : પ્રથમ $n$ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સરવાળો $n(n+1)$ છે.

(A) વિધાન P સાચું છે પરંતુ વિધાન Q ખોટું છે.

(B) વિધાન Q સાચું છે પરંતુ વિધાન P ખોટું છે.

(D) વિધાન P અને Q બંને ખોટા છે.

ઉકેલ:
- પ્રથમ $n$ અયુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ: $1, 3, 5, \dots, (2n-1)$. આ સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}[2(1) + (n-1)2] = \frac{n}{2}[2 + 2n – 2] = \frac{n}{2}(2n) = n^2$. (વિધાન P સાચું છે) ³⁶
- પ્રથમ $n$ યુગ્મ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ: $2, 4, 6, \dots, 2n$. આ સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] = \frac{n}{2}[2(2) + (n-1)2] = \frac{n}{2}[4 + 2n – 2] = \frac{n}{2}[2n + 2] = \frac{n}{2} \cdot 2(n+1) = n(n+1)$. (વિધાન Q સાચું છે)
જવાબ: (C) વિધાન P અને Q બંને સાચા છે.

**6) સમલંબ ચતુષ્કોણ PQRS માં PQ || RS છે તથા PR અને QS બિંદુ O માં છેદે છે. જો $OP=6$, $OQ=9$ અને $OR=8$ હોય તો $OS = $** [cite: 60, 61]

(A) [cite_start]$\frac{58}{9}$

(B) 12

(D) 11

ઉકેલ: સમલંબ ચતુષ્કોણ PQRS માં $\text{PQ} || \text{RS}$ હોવાથી, $\triangle \text{POQ} \sim \triangle \text{ROS}$ (ખૂ.ખૂ. શરત મુજબ) થાય.સમરૂપ ત્રિકોણોની અનુરૂપ બાજુઓનો ગુણોત્તર સમાન હોય છે:$$\frac{OP}{OR} = \frac{OQ}{OS}$$$$\frac{6}{8} = \frac{9}{OS}$$$$6 \times OS = 8 \times 9$$$$OS = \frac{72}{6}$$$$OS = 12$$
જવાબ: (B) 12

6) $\triangle ABC$ અને $\triangle PQR$ માં $\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AC}{PR}$ હોય તો $\triangle ABC$ અને $\triangle PQR$ સમરૂપ થાય. (ફક્ત દૃષ્ટિહીન વિદ્યાર્થીઓ માટે)

(A) ખૂ.બા.ખૂ.

(B) ખૂ.ખૂ.ખૂ.

(D) બા.બા.બા.

ઉકેલ: જો એક ત્રિકોણની ત્રણેય બાજુઓ બીજા ત્રિકોણની અનુરૂપ ત્રણેય બાજુઓ સાથે સમપ્રમાણમાં હોય, તો તે બે ત્રિકોણો બા.બા.બા. (SSS) શરત મુજબ સમરૂપ થાય.
જવાબ: (D) બા.બા.બા.

નીચે આપેલા વિધાનો સાચાં બને તેમ કૌંસમાં આપેલ વિકલ્પમાંથી સાચો વિકલ્પ પસંદ કરી જવાબ લખો: (પ્રશ્નક્રમાંક: 7 થી 12)

7) ઊગમબિંદુ થી બિંદુ P (36, 15) સુધીનું અંતર ______ થાય. (39, 51, 21)

ઉકેલ: ઊગમબિંદુ $O(0, 0)$ અને બિંદુ $P(36, 15)$ વચ્ચેનું અંતર:$$OP = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$$$OP = \sqrt{(36-0)^2 + (15-0)^2}$$$$OP = \sqrt{36^2 + 15^2}$$$$OP = \sqrt{1296 + 225}$$$$OP = \sqrt{1521}$$$$OP = 39$$
જવાબ: 39

8) $\tan^{2}\theta – \sec^{2}\theta = \_\_\_\_\_\_. (1, -1, 0)[cite_start]$

ઉકેલ: નિત્યસમ $\sec^{2}\theta – \tan^{2}\theta = 1$ પરથી,$$\tan^{2}\theta – \sec^{2}\theta = -(\sec^{2}\theta – \tan^{2}\theta) = -1$$
જવાબ: -1

9) ચતુષ્કોણ ABCD એક વર્તુળને પરિગત છે. જો $AB = 6$, $BC = 8$, $CD = 5$ તો $AD = \_\_\_\_\_\_. (3, 11, 8)[cite_start]$

ઉકેલ: જો કોઈ ચતુષ્કોણ વર્તુળને પરિગત હોય, તો તેની સામસામેની બાજુઓની જોડનો સરવાળો સમાન હોય છે.$$AB + CD = BC + AD$$$$6 + 5 = 8 + AD$$$$11 = 8 + AD$$$$AD = 11 – 8$$$$AD = 3$$
જવાબ: 3

9) વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી વર્તુળને ______ સ્પર્શકો દોરી શકાય. (0, 1, 2) (ફક્ત દૃષ્ટિહીન વિદ્યાર્થીઓ માટે)

ઉકેલ: વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી વર્તુળને એક પણ સ્પર્શક દોરી શકાતો નથી, કારણ કે સ્પર્શક હંમેશા વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી દોરવામાં આવે છે. કેન્દ્ર વર્તુળની અંદર આવેલું છે.
જવાબ: 0

10) એક ઘડિયાળના મિનિટ કાંટાની લંબાઈ 14 સે.મી છે. મિનિટ કાંટો 5 મિનિટમાં ઘડિયાળના ચંદા પર ______ સે.મી$^2$ ક્ષેત્રફળ આંતરે છે. ($154, \frac{154}{3}, 77$)

ઉકેલ: મિનિટ કાંટાની લંબાઈ $r = 14$ સે.મી.મિનિટ કાંટો 60 મિનિટમાં $360^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે.તેથી, 5 મિનિટમાં બનતો ખૂણો: $\theta = \frac{360^\circ}{60} \times 5 = 6^\circ \times 5 = 30^\circ$આંતરેલું ક્ષેત્રફળ (વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ):$$A = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2$$$$A = \frac{30}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14$$$$A = \frac{1}{12} \times 22 \times 2 \times 14$$$$A = \frac{11 \times 14}{3} = \frac{154}{3} \text{ સે.મી}^2$$
જવાબ: $\frac{154}{3}$

11) બે ગોલકની સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $1:2$ હોય તો તેમના ઘનફળનો ગુણોત્તર ______ થાય. ($2:\sqrt{2}, 1:2\sqrt{2}, 3:2\sqrt{2}$)

ઉકેલ: ધારો કે બે ગોલકની ત્રિજ્યાઓ $r_1$ અને $r_2$ છે.સપાટીના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:$$\frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{1}{2}$$$$\frac{r_1}{r_2} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ઘનફળનો ગુણોત્તર:$$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$$$$\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 = \frac{1^3}{(\sqrt{2})^3} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$$ગુણોત્તર: $1:2\sqrt{2}$
જવાબ: $1:2\sqrt{2}$

12) $Z-M = \_\_\_\_\_\_ (M-\overline{x}). (2, 3, 4)[cite_start]$

ઉકેલ: મધ્યક $(\overline{x})$, મધ્યસ્થ $(M)$ અને બહુલક $(Z)$ વચ્ચેનો પ્રાયોગિક સંબંધ:$$Z = 3M – 2\overline{x}$$$$Z – M = 2M – 2\overline{x}$$$$Z – M = 2(M – \overline{x})$$
જવાબ: 2

નીચે આપેલા વિધાનો ખરાં છે કે ખોટાં તે જણાવો: (પ્રશ્નક્રમાંક: 13 થી 16)

13) $P(A)=(0.8)^{2}$ તો $P(\overline{A})=(0.2)^{2}$ થાય.

ઉકેલ: આપેલ છે $P(A) = (0.8)^2 = 0.64$.$$P(\overline{A}) = 1 – P(A) = 1 – 0.64 = 0.36$$$$ (0.2)^2 = 0.04$$અહીં $P(\overline{A}) = 0.36$ અને $(0.2)^2 = 0.04$. $0.36 \neq 0.04$. તેથી વિધાન ખોટું છે.
જવાબ: ખોટું

14) સમીકરણ યુગ્મ $x+2y-4=0$ અને $2x+4y-12=0$ નો આલેખ સમાંતર રેખાઓ થાય.

ઉકેલ: આપેલા સમીકરણો માટે ગુણોત્તર ચકાસતાં:$$a_1=1, b_1=2, c_1=-4$$$$a_2=2, b_2=4, c_2=-12$$$$\frac{a_1}{a_2} = \frac{1}{2}$$$$\frac{b_1}{b_2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$$$\frac{c_1}{c_2} = \frac{-4}{-12} = \frac{1}{3}$$અહીં $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ છે, તેથી સમીકરણ યુગ્મ સુસંગત નથી અને તેનો આલેખ સમાંતર રેખાઓ થાય.
જવાબ: ખરું

15) $x^{2}+3x+1=(x-2)^{2}$ દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

ઉકેલ: સમીકરણનું સાદુરૂપ આપતા:$$x^2 + 3x + 1 = x^2 – 4x + 4$$$$3x + 1 = -4x + 4$$$$7x – 3 = 0$$આ સમીકરણમાં ચલનો મહત્તમ ઘાત 2 નથી, તેથી તે દ્વિઘાત સમીકરણ નથી.
જવાબ: ખોટું

16) બિંદુ $(3,-4)$ નું Y-અક્ષથી લંબ અંતર 3 છે.

ઉકેલ: બિંદુ $(x, y)$ નું Y-અક્ષથી લંબ અંતર $|x|$ હોય છે.બિંદુ $(3, -4)$ નું Y-અક્ષથી લંબ અંતર $|3| = 3$ છે.
જવાબ: ખરું

નીચે આપેલા પ્રશ્નોના એક વાક્યમાં કે શબ્દ કે અંકમાં જવાબ આપો. (પ્રશ્નક્રમાંક: 17 થી 20)

17) જો નળાકારની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ $=\frac{1}{3} \times$ નળાકારની કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ હોય તો તેની ઊંચાઈ અને ત્રિજ્યા વચ્ચેનો સંબંધ જણાંવો.

ઉકેલ: ધારો કે નળાકારની ત્રિજ્યા $r$ અને ઊંચાઈ $h$ છે.વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ: $2\pi rh$ 66કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ: $2\pi r(r+h) = 2\pi r^2 + 2\pi rh$ 67શરત મુજબ:$$2\pi rh = \frac{1}{3} \times 2\pi r(r+h)$$$$rh = \frac{1}{3}(r+h)r$$$$h = \frac{1}{3}(r+h)$$$$3h = r + h$$$$2h = r$$
જવાબ: $r = 2h$ (ત્રિજ્યા ઊંચાઈથી બમણી છે)

18) જો $Z+M=40$ અને $Z-M=4$ હોય તો તેનો મધ્યક શોધો.

ઉકેલ: સમીકરણોનો સરવાળો કરતાં:$$(Z+M) + (Z-M) = 40 + 4$$$$2Z = 44 \Rightarrow Z = 22$$પ્રથમ સમીકરણમાં Z ની કિંમત મૂકતા:$$22 + M = 40 \Rightarrow M = 40 – 22 = 18$$મધ્યક $(\overline{x})$ માટે પ્રાયોગિક સૂત્ર: $Z = 3M – 2\overline{x}$$$22 = 3(18) – 2\overline{x}$$$$22 = 54 – 2\overline{x}$$$$2\overline{x} = 54 – 22$$$$2\overline{x} = 32 \Rightarrow \overline{x} = 16$$
જવાબ: 16

19) $p, q, r$ અવિભાજ્ય પૂર્ણાકો હોય તો તેમનો લ.સા.અ. શું થાય?

ઉકેલ: અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો એકબીજાના અવયવ હોતા નથી, તેથી તેમનો લ.સા.અ. તેમનો ગુણાકાર થાય.
જવાબ: $p \times q \times r$

20) દ્વિઘાત સમીકરણ $6x^{2}-13x+m=0$ ના બંને બીજ પરસ્પર વ્યસ્ત હોય તો $m$ ની કિંમત શોધો.

ઉકેલ: દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માં જો બીજ પરસ્પર વ્યસ્ત હોય તો, બીજોનો ગુણાકાર 1 થાય.બીજોનો ગુણાકાર: $\frac{c}{a} = 1$અહીં $a=6$ અને $c=m$ છે. 72$$\frac{m}{6} = 1 \Rightarrow m = 6$$
જવાબ: 6

નીચે આપેલા જોડકાં સાચા બને તે રીતે યોગ્ય રીતે જોડકાં જોડો: (પ્રશ્નક્રમાંક: 21 થી 24)

જોડકાં નં – 1:

અ – (બહુપદી)	બ – (શૂન્યોની સંખ્યા)
21) $P(x)=x^{3}+x^{2}$	(a) 1
22) $P(x)=x^{3}-x$	(b) 2
	(c) 3

ઉકેલ:
- 1. $P(x) = x^3 + x^2 = x^2(x+1)$. શૂન્યો: $x=0$ (2 વખત), $x=-1$ (1 વખત). બહુપદીનો મહત્તમ ઘાત 3 છે, તેથી તેને વધુમાં વધુ 3 શૂન્યો મળે. અહીં વિભિન્ન શૂન્યોની સંખ્યા 2 છે, પરંતુ સામાન્ય રીતે બહુપદીના ઘાત જેટલી શૂન્યોની સંખ્યા ગણવામાં આવે છે. પરંતુ આપેલા વિકલ્પોમાં મહત્તમ ઘાત 3 માટે (c) 3 આપેલ છે. જો વધુમાં વધુ શૂન્યોની સંખ્યા પૂછી હોય તો: (c) 3. જો વિભિન્ન શૂન્યોની સંખ્યા પૂછી હોય તો: (b) 2. અહીં, મહત્તમ ઘાત મુજબ (c) 3 ને સાચો જવાબ ગણીશું.
  1. $P(x) = x^3 – x = x(x^2 – 1) = x(x-1)(x+1)$. શૂન્યો: $x=0, x=1, x=-1$. વિભિન્ન શૂન્યોની સંખ્યા 3 છે. (c) 3.
જવાબ:
- 21) (c)
- 22) (c)

જોડકાં નં – 2:

અ	બ
23) $\tan \theta \times \cos \theta$	(a) $2\cos^{2}\theta-1$
24) $\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$	(b) 1
	(c) $\sin \theta$

ઉકેલ:
- 1. $\tan \theta \times \cos \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \times \cos \theta = \sin \theta$. (c) $\sin \theta$
  1. $\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta$. આ વિધેય $\cos 2\theta$ નું સૂત્ર છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી, જો $\cos^2\theta$ ને $1-\sin^2\theta$ માં બદલો તો $1-2\sin^2\theta$ મળે અથવા $\sin^2\theta$ ને $1-\cos^2\theta$ માં બદલો તો $\cos^{2}\theta-(1-\cos^{2}\theta) = 2\cos^{2}\theta-1$ મળે. (a) $2\cos^{2}\theta-1$
જવાબ:
- 23) (c)
- 24) (a)

📝 વિભાગ – B (ગુણ: 18)

નીચે આપેલા 13 (તેર) પ્રશ્નોમાંથી કોઈપણ 9 (નવ) પ્રશ્નોના ગણતરી કરીને ઉત્તર આપો: (પ્રશ્નક્રમાંક: 25 થી 37) (દરેક સાચા ઉત્તરના 2 ગુણ)

25) સાબિત કરો કે $2+3\sqrt{5}$ અસંમેય છે.

ઉકેલ: ધારો કે $2+3\sqrt{5}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.તેથી, આપણે $2+3\sqrt{5} = \frac{p}{q}$ લખી શકીએ, જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંકો છે, $q \neq 0$ અને $\text{ગુ.સા.અ.}(p, q) = 1$ છે.$$3\sqrt{5} = \frac{p}{q} – 2$$$$3\sqrt{5} = \frac{p – 2q}{q}$$$$\sqrt{5} = \frac{p – 2q}{3q}$$જમણી બાજુ $\frac{p – 2q}{3q}$ એ સંમેય સંખ્યા છે, કારણ કે $p, q, 2, 3$ બધા પૂર્ણાંકો છે.તેથી, ડાબી બાજુ $\sqrt{5}$ પણ સંમેય હોવી જોઈએ.પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.આ વિરોધાભાસ આપણી મૂળ ધારણા ($2+3\sqrt{5}$ સંમેય છે) ખોટી હોવાથી ઉદ્ભવે છે.તેથી, $2+3\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

26) દ્વિચલ સુરેખ સમીકરણ યુગ્મ $2x+3y=11$ અને $x-2y=-12$ નો ઉકેલ શોધો અને એવો ‘m’ શોધો કે જેથી $y=mx+3$ થાય.

ઉકેલ:સમીકરણ (1): $2x + 3y = 11$સમીકરણ (2): $x – 2y = -12$સમીકરણ (2) પરથી: $x = 2y – 12$આ કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતા (આદેશની રીત):$$2(2y – 12) + 3y = 11$$$$4y – 24 + 3y = 11$$$$7y = 11 + 24$$$$7y = 35$$$$y = 5$$$y = 5$ ની કિંમત $x = 2y – 12$ માં મૂકતા:$$x = 2(5) – 12$$$$x = 10 – 12$$$$x = -2$$ઉકેલ: $x = -2$ અને $y = 5$.હવે, $y = mx + 3$ માં $x = -2$ અને $y = 5$ મૂકતા:$$5 = m(-2) + 3$$$$5 – 3 = -2m$$$$2 = -2m$$$$m = \frac{2}{-2}$$$$m = -1$$
જવાબ: સમીકરણ યુગ્મનો ઉકેલ $x=-2, y=5$ છે અને $m=-1$ છે.

27) દ્વિઘાત સમીકરણ $kx(x-2)+6=0$ ના બીજ સમાન હોય તો $k$ નું મૂલ્ય શોધો.

ઉકેલ: આપેલા સમીકરણનું પ્રમાણિત સ્વરૂપ:$$kx^2 – 2kx + 6 = 0$$અહીં $a=k$, $b=-2k$, $c=6$ છે.બીજ સમાન હોય તો, વિવેચક $D = b^2 – 4ac = 0$ થાય.$$(-2k)^2 – 4(k)(6) = 0$$$$4k^2 – 24k = 0$$$$4k(k – 6) = 0$$તેથી, $4k = 0$ અથવા $k – 6 = 0$.$$k = 0 \text{ અથવા } k = 6$$જો $k=0$ લઈએ તો સમીકરણ $0(x^2) – 2(0)x + 6 = 0$, એટલે કે $6=0$ મળે, જે શક્ય નથી (આ કિસ્સામાં તે દ્વિઘાત સમીકરણ રહેતું નથી).તેથી, $k \neq 0$.$k = 6$
જવાબ: $k = 6$

28) બે એવી સંખ્યાઓ શોધો કે જેમનો સરવાળો 27 અને ગુણાકાર 182 હોય.

ઉકેલ: ધારો કે તે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે.સરવાળો: $x + y = 27 \Rightarrow y = 27 – x$ગુણાકાર: $x \cdot y = 182$$x(27 – x) = 182$$27x – x^2 = 182$$x^2 – 27x + 182 = 0$અવયવીકરણની રીત: આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની છે જેમનો ગુણાકાર 182 અને સરવાળો $-27$ હોય. તે સંખ્યાઓ $-13$ અને $-14$ છે.$$x^2 – 14x – 13x + 182 = 0$$$$x(x – 14) – 13(x – 14) = 0$$$$(x – 14)(x – 13) = 0$$$$x = 14 \text{ અથવા } x = 13$$જો $x=14$, તો $y = 27 – 14 = 13$.જો $x=13$, તો $y = 27 – 13 = 14$.
જવાબ: તે બે સંખ્યાઓ 13 અને 14 છે.

29) $3, 8, 13, \dots, 253$ સમાંતર શ્રેણી હોય, તો તેનું છેલ્લેથી 10 મું પદ શોધો.

ઉકેલ: આપેલ સમાંતર શ્રેણીમાં:પ્રથમ પદ $a = 3$સામાન્ય તફાવત $d = 8 – 3 = 5$છેલ્લું પદ $l = 253$કુલ પદોની સંખ્યા $n$ શોધવા માટે: $l = a + (n-1)d$$$253 = 3 + (n-1)5$$$$250 = (n-1)5$$$$50 = n – 1 \Rightarrow n = 51$$શ્રેણીમાં કુલ 51 પદો છે.છેલ્લેથી 10 મું પદ એ પ્રથમથી $(n – 10 + 1)$ મું પદ થાય.$$(51 – 10 + 1) = 42 \text{ મું પદ}$$42 મું પદ શોધવા માટે: $a_{42} = a + (42-1)d$$$a_{42} = 3 + 41(5)$$$$a_{42} = 3 + 205$$$$a_{42} = 208$$વૈકલ્પિક રીત:છેલ્લેથી 10 મું પદ $a’_{10} = l – (10-1)d$ ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને.$$a’_{10} = 253 – 9(5)$$$$a’_{10} = 253 – 45$$$$a’_{10} = 208$$
જવાબ: છેલ્લેથી 10 મું પદ 208 છે.

30) $\sin(A-B) = \frac{1}{2}$ અને $\cos(A+B) = \frac{1}{2}$, $0^{\circ} < A+B \leq 90^{\circ}$, $A>B$ હોય તો $A$ અને $B$ શોધો.

ઉકેલ:
1. $\sin(A-B) = \frac{1}{2}$આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$, તેથી:$$A – B = 30^{\circ} \dots (1)$$
2. $\cos(A+B) = \frac{1}{2}$આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$, તેથી:$$A + B = 60^{\circ} \dots (2)$$
સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતાં:$$(A – B) + (A + B) = 30^{\circ} + 60^{\circ}$$$$2A = 90^{\circ}$$$$A = 45^{\circ}$$$A = 45^{\circ}$ ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતા:$$45^{\circ} + B = 60^{\circ}$$$$B = 60^{\circ} – 45^{\circ}$$$$B = 15^{\circ}$$અહીં $A=45^{\circ}$ અને $B=15^{\circ}$ છે અને $A>B$ તથા $0^{\circ} < A+B = 60^{\circ} \leq 90^{\circ}$ ની શરતનું પાલન થાય છે.
જવાબ: $A = 45^{\circ}$ અને $B = 15^{\circ}$

31) સાબિત કરો કે $(\sin A + \text{cosec } A)^{2} + (\cos A + \sec A)^{2} = 7 + \tan^{2}A + \cot^{2}A.$

ઉકેલ: ડાબી બાજુ (LHS)$$LHS = (\sin A + \text{cosec } A)^{2} + (\cos A + \sec A)^{2}$$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતાં:$$LHS = (\sin^2 A + 2\sin A \text{ cosec } A + \text{cosec}^2 A) + (\cos^2 A + 2\cos A \sec A + \sec^2 A)$$આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin A \text{ cosec } A = 1$ અને $\cos A \sec A = 1$.$$LHS = (\sin^2 A + 2(1) + \text{cosec}^2 A) + (\cos^2 A + 2(1) + \sec^2 A)$$$$LHS = \sin^2 A + 2 + \text{cosec}^2 A + \cos^2 A + 2 + \sec^2 A$$$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ નો ઉપયોગ કરતાં:$$LHS = (\sin^2 A + \cos^2 A) + 2 + 2 + \text{cosec}^2 A + \sec^2 A$$$$LHS = 1 + 4 + \text{cosec}^2 A + \sec^2 A$$$$LHS = 5 + \text{cosec}^2 A + \sec^2 A$$હવે નિત્યસમ $\text{cosec}^2 A = 1 + \cot^2 A$ અને $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$ નો ઉપયોગ કરતાં:$$LHS = 5 + (1 + \cot^2 A) + (1 + \tan^2 A)$$$$LHS = 5 + 1 + 1 + \tan^2 A + \cot^2 A$$$$LHS = 7 + \tan^{2}A + \cot^{2}A$$$$LHS = RHS$$તેથી, સાબિત થાય છે.

32) બે સમકેન્દ્રી વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ 13 સેમી અને 5 સેમી છે. મોટા વર્તુળની જીવા નાના વર્તુળને સ્પર્શે છે, તો જીવાની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ:ધારો કે O એ વર્તુળોનું કેન્દ્ર છે.નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 5$ સેમી.મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 13$ સેમી.ધારો કે $\text{AB}$ એ મોટા વર્તુળની જીવા છે જે નાના વર્તુળને બિંદુ $\text{P}$ પર સ્પર્શે છે.તેથી, $\text{OP} \perp \text{AB}$, અને $\text{OP} = r = 5$ સેમી.$\text{OA}$ એ મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, તેથી $\text{OA} = R = 13$ સેમી.$\triangle \text{OPA}$ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે ($\angle \text{OPA} = 90^\circ$).પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ:$$\text{OA}^2 = \text{OP}^2 + \text{AP}^2$$$$13^2 = 5^2 + \text{AP}^2$$$$169 = 25 + \text{AP}^2$$$$\text{AP}^2 = 169 – 25 = 144$$$$\text{AP} = \sqrt{144} = 12 \text{ સેમી}$$કેન્દ્રમાંથી જીવા પર દોરેલો લંબ જીવાને દુભાગે છે, તેથી $\text{AB} = 2 \times \text{AP}$.$$\text{AB} = 2 \times 12 = 24 \text{ સેમી}$$
જવાબ: જીવાની લંબાઈ 24 સેમી છે.

32) વ્યાખ્યા આપો: (ફક્ત દૃષ્ટિહીન વિદ્યાર્થીઓ માટે)i) સમકેન્દ્રી વર્તુળો ii) સ્પર્શકની લંબાઈ

ઉકેલ:i) સમકેન્દ્રી વર્તુળો: એવા વર્તુળો કે જેનું કેન્દ્ર એક જ હોય, પરંતુ તેમની ત્રિજ્યાઓ અલગ-અલગ હોય, તેને સમકેન્દ્રી વર્તુળો કહેવાય છે. 95ii) સ્પર્શકની લંબાઈ: વર્તુળના બહારના કોઈ બિંદુથી વર્તુળના સ્પર્શબિંદુ સુધીના રેખાખંડની લંબાઈને સ્પર્શકની લંબાઈ કહેવામાં આવે છે.

33) બે ઘન પૈકી પ્રત્યેકનું ઘનફળ $64 \text{ સે.મી}^3$ હોય તેવા બે ઘનને જોડવાથી બનતા લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ શોધો.

ઉકેલ:પ્રત્યેક ઘનનું ઘનફળ $V = 64 \text{ સે.મી}^3$. 98જો ઘનની ધારની લંબાઈ $a$ હોય, તો $V = a^3$.$$a^3 = 64 \Rightarrow a = \sqrt[3]{64} = 4 \text{ સેમી}$$બે સમાન ઘનને જોડવાથી બનતા લંબઘન માટે:લંબાઈ $l = a + a = 4 + 4 = 8 \text{ સેમી}$પહોળાઈ $b = a = 4 \text{ સેમી}$ઊંચાઈ $h = a = 4 \text{ સેમી}$લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ: $A = 2(lb + bh + hl)$$$A = 2[(8)(4) + (4)(4) + (4)(8)]$$$$A = 2[32 + 16 + 32]$$$$A = 2[80]$$$$A = 160 \text{ સે.મી}^2$$
જવાબ: લંબઘનનું કુલ પૃષ્ઠફળ $160 \text{ સે.મી}^2$ છે.

34) અવલોકનો $x, x+3, x+6, x+9$ અને $x+12$ નો મધ્યક 10 હોય તો $x$ શોધો.

ઉકેલ: અવલોકનોની સંખ્યા $n = 5$.મધ્યક $\overline{x} = \frac{\text{બધા અવલોકનોનો સરવાળો}}{\text{અવલોકનોની સંખ્યા}}$$$10 = \frac{x + (x+3) + (x+6) + (x+9) + (x+12)}{5}$$$$10 = \frac{5x + (3+6+9+12)}{5}$$$$10 = \frac{5x + 30}{5}$$$$50 = 5x + 30$$$$5x = 50 – 30$$$$5x = 20$$$$x = 4$$
જવાબ: $x = 4$

35) જો $n=53, l=60, f=7, cf=22, h=10$ હોય તો મધ્યસ્થ શોધો.

ઉકેલ: મધ્યસ્થ શોધવાનું સૂત્ર:$$M = l + \left(\frac{n/2 – cf}{f}\right) \times h$$જ્યાં:
- $l = 60$ (મધ્યસ્થ વર્ગની અધઃસીમા) $n = 53$ (કુલ અવલોકનોની સંખ્યા) $f = 7$ (મધ્યસ્થ વર્ગની આવૃત્તિ) $cf = 22$ (મધ્યસ્થ વર્ગની આગળના વર્ગની સંચયી આવૃત્તિ) $h = 10$ (વર્ગ લંબાઈ)
$$\frac{n}{2} = \frac{53}{2} = 26.5$$$$M = 60 + \left(\frac{26.5 – 22}{7}\right) \times 10$$$$M = 60 + \left(\frac{4.5}{7}\right) \times 10$$$$M = 60 + \frac{45}{7}$$$$M = 60 + 6.428 \dots$$$$M \approx 66.43$$
જવાબ: મધ્યસ્થ આશરે $66.43$ છે.

36) આપેલ છે કે 3 વિદ્યાર્થીઓના સમૂહમાં બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મ દિવસ સમાન ન હોય તેની સંભાવના 0.992 છે. બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મ દિવસ સમાન હોય તેની સંભાવના શોધો.

ઉકેલ: ધારો કે ઘટના $E$ છે: ‘બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મ દિવસ સમાન હોય’.તેથી, ઘટના $\overline{E}$ છે: ‘બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મ દિવસ સમાન ન હોય’.આપેલ છે: $P(\overline{E}) = 0.992$. 107સંભાવનાનું સૂત્ર: $P(E) + P(\overline{E}) = 1$.$$P(E) = 1 – P(\overline{E})$$$$P(E) = 1 – 0.992$$$$P(E) = 0.008$$
જવાબ: બે વિદ્યાર્થીઓનો જન્મ દિવસ સમાન હોય તેની સંભાવના $0.008$ છે.

37) એક જથ્થો 144 બોલપેન ધરાવે છે. તેમાંથી 20 ખામીયુક્ત અને બાકીની સારી છે. જો પેન સારી હશે તો, હીર પેન ખરીદશે, પરંતુ જો તે ખામીયુક્ત હશે તો ખરીદશે નહિ. દુકાનદાર યાદચ્છિક રીતે એક પેન કાઢે છે અને તેને આપે છે.

i) તે પેન ખરીદશે. તેની સંભાવના કેટલી? 109ii) તે પેન નહિ ખરીદે તેની સંભાવના કેટલી?

ઉકેલ:કુલ બોલપેન: 144 ખામીયુક્ત પેન: 20 સારી પેન: $144 – 20 = 124$ i) તે પેન ખરીદશે તેની સંભાવના:હીર પેન ત્યારે જ ખરીદશે જો પેન સારી હોય. $$P(\text{ખરીદશે}) = P(\text{સારી પેન}) = \frac{\text{સારી પેનની સંખ્યા}}{\text{કુલ પેનની સંખ્યા}}$$$$P(\text{ખરીદશે}) = \frac{124}{144} = \frac{31}{36}$$ii) તે પેન નહિ ખરીદે તેની સંભાવના:હીર પેન ત્યારે જ નહિ ખરીદે જો પેન ખામીયુક્ત હોય. $$P(\text{નહિ ખરીદે}) = P(\text{ખામીયુક્ત પેન}) = \frac{\text{ખામીયુક્ત પેનની સંખ્યા}}{\text{કુલ પેનની સંખ્યા}}$$$$P(\text{નહિ ખરીદે}) = \frac{20}{144} = \frac{5}{36}$$(નોંધ: $P(\text{ખરીદશે}) + P(\text{નહિ ખરીદે}) = \frac{31}{36} + \frac{5}{36} = \frac{36}{36} = 1$)
જવાબ:i) તે પેન ખરીદશે તેની સંભાવના: $\frac{31}{36}$ii) તે પેન નહિ ખરીદે તેની સંભાવના: $\frac{5}{36}$

📝 વિભાગ – C (ગુણ: 18)

સૂચના: નીચે આપેલા 9 (નવ) પ્રશ્નોમાંથી કોઈપણ 6 (છ) પ્રશ્નોના ગણતરી કરીને ઉત્તર આપો: (પ્રશ્નક્રમાંક: 38 થી 46) (દરેક સાચા ઉત્તરના 3 ગુણ)

38) બહુપદી $x^{2}-5$ ના શૂન્યો શોધો અને તેનાં શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસો.

ઉકેલ:1. શૂન્યો શોધવા:બહુપદી $P(x) = x^2 – 5$ ને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:$$x^2 – 5 = 0$$$$x^2 = 5$$$$x = \pm \sqrt{5}$$શૂન્યો $\alpha = \sqrt{5}$ અને $\beta = -\sqrt{5}$ છે.2. શૂન્યો અને સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસવો:બહુપદી: $x^2 + 0x – 5$. અહીં પ્રમાણિત સ્વરૂપ $ax^2+bx+c$ પરથી $a=1, b=0, c=-5$ છે.i) શૂન્યોનો સરવાળો:પ્રાપ્ત સરવાળો: $\alpha + \beta = \sqrt{5} + (-\sqrt{5}) = 0$સૂત્ર મુજબ: $-\frac{b}{a} = -\frac{0}{1} = 0$(સંબંધ ચકાસાય છે: $0 = 0$)ii) શૂન્યોનો ગુણાકાર:પ્રાપ્ત ગુણાકાર: $\alpha\beta = (\sqrt{5}) \times (-\sqrt{5}) = -5$સૂત્ર મુજબ: $\frac{c}{a} = \frac{-5}{1} = -5$(સંબંધ ચકાસાય છે: $-5 = -5$)
જવાબ: બહુપદીના શૂન્યો $\sqrt{5}$ અને $-\sqrt{5}$ છે, અને શૂન્યો તથા સહગુણકો વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસાય છે.

39) બહુપદીના શૂન્યો $2+\sqrt{3}$ અને $2-\sqrt{3}$ હોય તેવી દ્વિઘાત બહુપદી શોધો.

ઉકેલ:આપેલ શૂન્યો $\alpha = 2+\sqrt{3}$ અને $\beta = 2-\sqrt{3}$.1. શૂન્યોનો સરવાળો ($S$):$$S = \alpha + \beta = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 2 + 2 = 4$$2. શૂન્યોનો ગુણાકાર ($P$):$$P = \alpha\beta = (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$$$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:$$P = 2^2 – (\sqrt{3})^2 = 4 – 3 = 1$$3. દ્વિઘાત બહુપદી:સૂત્ર: $P(x) = k(x^2 – Sx + P)$$k=1$ લેતા:$$P(x) = x^2 – 4x + 1$$
જવાબ: માંગેલી દ્વિઘાત બહુપદી $x^2 – 4x + 1$ છે.

40) એક સમાંતર શ્રેણીના ચોથા અને આઠમા પદોનો સરવાળો 24 છે તથા છઠ્ઠા અને દસમા પદોનો સરવાળો 44 છે.

આ સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ ત્રણ પદ શોધો.

ઉકેલ:1. પ્રથમ શરત: $a_4 + a_8 = 24$સૂત્ર $a_n = a + (n-1)d$ નો ઉપયોગ કરતા:$$(a + 3d) + (a + 7d) = 24$$$$2a + 10d = 24 \Rightarrow a + 5d = 12 \dots (1)$$2. બીજી શરત: $a_6 + a_{10} = 44$$$(a + 5d) + (a + 9d) = 44$$$$2a + 14d = 44 \Rightarrow a + 7d = 22 \dots (2)$$3. $a$ અને $d$ શોધવા:સમીકરણ (2) માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં:$$(a + 7d) – (a + 5d) = 22 – 12$$$$2d = 10 \Rightarrow d = 5$$$d=5$ ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતા:$$a + 5(5) = 12 \Rightarrow a + 25 = 12 \Rightarrow a = 12 – 25 = -13$$4. પ્રથમ ત્રણ પદ:પ્રથમ પદ: $a_1 = a = -13$બીજું પદ: $a_2 = a + d = -13 + 5 = -8$ત્રીજું પદ: $a_3 = a + 2d = -13 + 2(5) = -13 + 10 = -3$
જવાબ: સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ ત્રણ પદ $-13, -8, -3$ છે.

41) એક શાળાના વિદ્યાર્થીઓ વાયુ પ્રદૂષણ ઓછું કરવા માટે કટિબદ્ધ છે. આ માટે શાળામાં ‘‘વૃક્ષારોપણ કાર્યક્રમ” નું આયોજન કરવામાં આવ્યું છે. તે માટે શાળાના વિદ્યાર્થીઓ શાળાની અંદર અને બહાર વૃક્ષ વાવવાનું વિચારે છે. એવું નક્કી કરાયું કે પ્રત્યેક ધોરણનો પ્રત્યેક વિભાગ તે જે ધોરણમાં ભણતા હોય તેટલાં વૃક્ષ વાવશે. દાખલા તરીકે ધોરણ 1 નો વિભાગ 1 વૃક્ષ, ધોરણ II નો વિભાગ 2 વૃક્ષ અને આવું ધોરણ XII સુધી ચાલશે, દરેક ધોરણમાં ત્રણ વિભાગ છે.

આ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કેટલાં વૃક્ષનું વાવેતર થશે?

ઉકેલ:ધોરણ 1 થી 12 સુધી કુલ 12 ધોરણ છે. 6દરેક ધોરણમાં વિભાગોની સંખ્યા = 3
- ધોરણ 1 ના વિદ્યાર્થીઓ વાવશે: $1 \times 3 = 3$ વૃક્ષધોરણ 2 ના વિદ્યાર્થીઓ વાવશે: $2 \times 3 = 6$ વૃક્ષધોરણ 3 ના વિદ્યાર્થીઓ વાવશે: $3 \times 3 = 9$ વૃક્ષ…ધોરણ 12 ના વિદ્યાર્થીઓ વાવશે: $12 \times 3 = 36$ વૃક્ષ
કુલ વાવેતર થયેલા વૃક્ષોની સંખ્યા:$$S_{12} = 3 + 6 + 9 + \dots + 36$$આ સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a=3$, સામાન્ય તફાવત $d=3$, અને પદોની સંખ્યા $n=12$.સૂત્ર: $S_n = \frac{n}{2}[a + l]$, જ્યાં છેલ્લું પદ $l=36$ છે.$$S_{12} = \frac{12}{2}[3 + 36]$$$$S_{12} = 6 \times 39$$$$S_{12} = 234$$
જવાબ: વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા કુલ 234 વૃક્ષનું વાવેતર થશે.

42) જો A અને B અનુક્રમે $(-2,-2)$ અને $(2,-4)$ હોય, જેથી $AP=\frac{3}{7}AB$ થાય અને બિંદુ P રેખાખંડ AB પર આવેલ હોય, તેવા બિંદુ P ના યામ શોધો.

ઉકેલ:આપેલ છે: $A(-2, -2)$, $B(2, -4)$ અને $AP=\frac{3}{7}AB$.બિંદુ P એ રેખાખંડ AB પર છે. $AP=\frac{3}{7}AB$ નો અર્થ થાય કે $\text{P}$ બિંદુ રેખાખંડ $\text{AB}$ નું $3:4$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.$$\frac{AP}{AB} = \frac{3}{7} \Rightarrow \frac{AP}{PB} = \frac{3}{7-3} = \frac{3}{4}$$તેથી, ગુણોત્તર $m_1:m_2 = 3:4$.વિભાજન સૂત્ર: $P(x, y) = \left(\frac{m_1 x_2 + m_2 x_1}{m_1 + m_2}, \frac{m_1 y_2 + m_2 y_1}{m_1 + m_2}\right)$$$P(x, y) = \left(\frac{3(2) + 4(-2)}{3 + 4}, \frac{3(-4) + 4(-2)}{3 + 4}\right)$$$$P(x, y) = \left(\frac{6 – 8}{7}, \frac{-12 – 8}{7}\right)$$$$P(x, y) = \left(\frac{-2}{7}, \frac{-20}{7}\right)$$
જવાબ: બિંદુ P ના યામ $\left(-\frac{2}{7}, -\frac{20}{7}\right)$ છે.

43) સાબિત કરો કે વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે. (પ્રમેય 10.2)

ઉકેલ:આપેલ: $\text{O}$ કેન્દ્રવાળું વર્તુળ. વર્તુળની બહારનું બિંદુ $\text{P}$. $\text{PQ}$ અને $\text{PR}$ એ $\text{P}$ માંથી વર્તુળને દોરેલા બે સ્પર્શકો છે.સાબિત કરવું: સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન છે, એટલે કે $\text{PQ} = \text{PR}$.સાબિતી:
1. $\text{OQ}$, $\text{OR}$ અને $\text{OP}$ જોડો.
2. પ્રમેય 10.1 મુજબ, સ્પર્શક બિંદુમાંથી દોરેલી ત્રિજ્યા સ્પર્શકને લંબ હોય છે.તેથી, $\text{OQ} \perp \text{PQ}$ અને $\text{OR} \perp \text{PR}$.આથી, $\angle \text{OQP} = 90^\circ$ અને $\angle \text{ORP} = 90^\circ$.
3. હવે, $\triangle \text{OQP}$ અને $\triangle \text{ORP}$ ને સરખાવતા:
  - $\text{OQ} = \text{OR}$ (એક જ વર્તુળની ત્રિજ્યા)
  - $\text{OP} = \text{OP}$ (સામાન્ય બાજુ)
  - $\angle \text{OQP} = \angle \text{ORP} = 90^\circ$ (કાટખૂણો)
4. કાટખૂણો-કર્ણ-બાજુ (RHS) શરત મુજબ, $\triangle \text{OQP} \cong \triangle \text{ORP}$.
5. એકરૂપ ત્રિકોણની અનુરૂપ બાજુઓ સમાન હોય છે (CPCT)$$\text{PQ} = \text{PR}$$
જવાબ: આમ, વર્તુળની બહારના બિંદુમાંથી વર્તુળને દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે.

44) આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે ત્રિકોણ ABC એ 4 સેમી ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળને પરિગત છે. સ્પર્શબિંદુ D એ BC નું 8 સે.મી અને 6 સે.મી લંબાઈના રેખાખંડો અનુક્રમે BD અને DC માં વિભાજન કરે છે.

બાજુઓ AB અને AC શોધો.

ઉકેલ:આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 4 \text{ સેમી}$ 11, $\text{BD} = 8 \text{ સેમી}$ , $\text{DC} = 6 \text{ સેમી}$.1. સ્પર્શક લંબાઈઓ:પ્રમેય 10.2 મુજબ, બહારના બિંદુમાંથી દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે.
- બિંદુ $\text{C}$ માંથી: $\text{CF} = \text{CD} = 6 \text{ સેમી}$ (ધારો કે $\text{AC}$ પર સ્પર્શબિંદુ $\text{F}$ છે).બિંદુ $\text{B}$ માંથી: $\text{BE} = \text{BD} = 8 \text{ સેમી}$ (ધારો કે $\text{AB}$ પર સ્પર્શબિંદુ $\text{E}$ છે).બિંદુ $\text{A}$ માંથી: $\text{AE} = \text{AF} = x$ (ધારો).
2. બાજુઓની લંબાઈ:
- $\text{BC} = \text{BD} + \text{DC} = 8 + 6 = 14 \text{ સેમી}$$\text{AB} = \text{AE} + \text{EB} = x + 8$$\text{AC} = \text{AF} + \text{FC} = x + 6$
3. $x$ શોધવા માટે ક્ષેત્રફળની સરખામણી:
- અર્ધ-પરિમિતિ $s = \frac{14 + (x+8) + (x+6)}{2} = \frac{2x + 28}{2} = x + 14$હીરોનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{ABC}) = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{ABC}) = \sqrt{(x+14)(14)(x+6)(x+8)}$$ (આપેલ બાજુઓ $\text{BC}=14, \text{AC}=x+6, \text{AB}=x+8$)વૃત્તાંશના ત્રિકોણનું સૂત્ર: $\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{ABC}) = \frac{1}{2} r (a+b+c) = \frac{1}{2} r (2s) = r \cdot s$$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{ABC}) = 4(x+14)$$બંને ક્ષેત્રફળને સરખાવતા:$$4(x+14) = \sqrt{(x+14)(14)(x+6)(x+8)}$$વર્ગ કરતાં:$$16(x+14)^2 = (x+14)(14)(x+6)(x+8)$$$$(x+14) \ne 0 \text{ હોવાથી}$$$$16(x+14) = 14(x^2 + 14x + 48)$$$$8(x+14) = 7(x^2 + 14x + 48)$$$$8x + 112 = 7x^2 + 98x + 336$$$$7x^2 + 90x + 224 = 0$$$$(7x+56)(x+4) = 0$$$x=-8$ અથવા $x=-4$ (લંબાઈ ઋણ ન હોવાથી, આ શક્ય નથી. આ પ્રશ્નમાં ક્ષેત્રફળની ગણતરીમાં કોઈક જગ્યાએ ભૂલ આવી રહી છે. ફરીથી હીરોના સૂત્રની ગણતરી તપાસો.)$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{ABC}) = \sqrt{(x+14)((x+14)-14)((x+14)-(x+6))((x+14)-(x+8))}$$$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{ABC}) = \sqrt{(x+14)(x)(8)(6)}$$$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{ABC}) = \sqrt{48x(x+14)}$$ફરીથી સરખામણી:$$4(x+14) = \sqrt{48x(x+14)}$$$$16(x+14)^2 = 48x(x+14)$$$$(x+14) \ne 0 \text{ હોવાથી}$$$$16(x+14) = 48x$$$$x+14 = 3x$$$$14 = 2x \Rightarrow x = 7$$
4. બાજુઓની લંબાઈ:
- $\text{AB} = x + 8 = 7 + 8 = 15 \text{ સેમી}$
- $\text{AC} = x + 6 = 7 + 6 = 13 \text{ સેમી}$
જવાબ: બાજુ $\text{AB} = 15 \text{ સેમી}$ અને $\text{AC} = 13 \text{ સેમી}$ છે.

45) 10 સેમી લંબાઈની જીવા કેન્દ્ર આગળ કાટખૂણો આંતરે છે. તેને અનુરૂપ i) લઘુ વૃત્તખંડ અને ii) ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

$(\pi=3.14\in l)$

ઉકેલ:જીવાની લંબાઈ $AB=10 \text{ સેમી}$. કેન્દ્રકોણ $\theta = 90^{\circ}$.ધારો કે $\triangle \text{OAB}$ માં $OA=OB=r$. કાટખૂણો આંતરે છે તેથી પાયથાગોરસ પ્રમેય મુજબ:$$OA^2 + OB^2 = AB^2$$$$r^2 + r^2 = 10^2$$$$2r^2 = 100 \Rightarrow r^2 = 50 \Rightarrow r = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \text{ સેમી}$$i) લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ:$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\text{લઘુ વૃત્તખંડ}) = \text{ક્ષેત્રફળ}(\text{વૃત્તાંશ}) – \text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{OAB})$$$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\text{વૃત્તાંશ}) = \frac{\theta}{360} \times \pi r^2 = \frac{90}{360} \times 3.14 \times 50$$$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\text{વૃત્તાંશ}) = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 50 = 39.25 \text{ સે.મી}^2$$$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{OAB}) = \frac{1}{2} \times r \times r = \frac{1}{2} r^2 = \frac{1}{2} \times 50 = 25 \text{ સે.મી}^2$$$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\text{લઘુ વૃત્તખંડ}) = 39.25 – 25 = 14.25 \text{ સે.મી}^2$$ii) ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ:ગુરુ વૃત્તાંશનો કેન્દ્રકોણ: $360^\circ – 90^\circ = 270^\circ$.$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\text{ગુરુ વૃત્તાંશ}) = \frac{270}{360} \times \pi r^2 = \frac{3}{4} \times 3.14 \times 50$$$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\text{ગુરુ વૃત્તાંશ}) = 0.75 \times 157 = 117.75 \text{ સે.મી}^2$$
જવાબ:i) લઘુ વૃત્તખંડનું ક્ષેત્રફળ: $14.25 \text{ સે.મી}^2$ii) ગુરુ વૃત્તાંશનું ક્ષેત્રફળ: $117.75 \text{ સે.મી}^2$

46) એક ભૂરો અને એક રાખોડી એમ બે પાસાને એક સાથે ઉછાળવામાં આવે છે.

નીચેની સંભાવનાઓ શોધો. i) પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 13 હોય. ii) પાસા પર સમાન અંકો હોય. iii) પાસા પરના અંકોનો ગુણાકાર યુગ્મ હોય.

ઉકેલ:કુલ પરિણામોની સંખ્યા: $n = 6 \times 6 = 36$.i) પાસા પરના અંકોનો સરવાળો 13 હોય ($A$): પાસા પર મહત્તમ અંક 6 છે, તેથી મહત્તમ સરવાળો $6+6=12$ હોઈ શકે છે.સરવાળો 13 હોય તેવા પરિણામોની સંખ્યા $= 0$$$P(A) = \frac{0}{36} = 0$$ii) પાસા પર સમાન અંકો હોય ($B$): સમાન અંકોના પરિણામો: $\{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$પરિણામોની સંખ્યા $= 6$$$P(B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$$iii) પાસા પરના અંકોનો ગુણાકાર યુગ્મ હોય ($C$): બે સંખ્યાઓનો ગુણાકાર યુગ્મ હોય તેની વિરુદ્ધ ઘટના: ગુણાકાર અયુગ્મ હોય ($C’$).ગુણાકાર અયુગ્મ ત્યારે જ થાય જ્યારે બંને અંકો અયુગ્મ હોય: $\{1, 3, 5\}$અયુગ્મ અંકોવાળા પરિણામો: $\{(1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5)\}$પરિણામોની સંખ્યા $= 9$$$P(C’) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$$ગુણાકાર યુગ્મ હોય તેની સંભાવના:$$P(C) = 1 – P(C’) = 1 – \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$
જવાબ:i) સરવાળો 13 હોય: $0$ii) સમાન અંકો હોય: $\frac{1}{6}$iii) ગુણાકાર યુગ્મ હોય: $\frac{3}{4}$

📝 વિભાગ – D (ગુણ: 20)

સૂચના: નીચે આપેલા 8 (આઠ) પ્રશ્નોમાંથી કોઈપણ 5 (પાંચ) પ્રશ્નોના માગ્યા મુજબ ઉત્તર આપો: (પ્રશ્નક્રમાંક: 47 થી 54) (દરેક સાચા ઉત્તરના 4 ગુણ)

47) નિહાન તેના મામાના ઘરે જવા માટે ટેક્ષી ભાડે કરે છે. ટેક્સીનું ભાડું નિશ્ચિત ભાડું અને કાપેલા અંતરના પ્રમાણમાં સંયુક્ત રીતે લેવાય છે. નિહાનના મામાનું ઘર તેના ઘરથી 10 કિ.મી. દૂર છે અને તેના માટે તે રૂ.105 ભાડું ચૂકવે છે. ત્યાંથી નિહાન તેના દાદાના ઘરે જાય છે. તેના મામાના ઘરથી તેના દાદાનું ઘર 15 કિ.મી. દૂર છે. તેના માટે તે રૂ.155 ભાડું ચૂકવે છે. તો નિશ્ચિત ભાડું કેટલું અને પ્રતિ કિ.મી ના દરે કેટલી કિંમત ચૂકવવી પડે? નિહાન તેના દાદાના ઘરેથી પોતાના ઘરે જાય છે. તેના દાદાના ઘરથી તેનું ઘર 25 કિ.મી.

દૂર છે તો તેને કેટલું ભાડું ચૂકવવું પડશે?

ઉકેલ:ધારો કે નિશ્ચિત ભાડું $= x$ (₹) અને પ્રતિ કિ.મી. નો દર $= y$ (₹). કુલ ભાડું = નિશ્ચિત ભાડું + (અંતર $\times$ પ્રતિ કિ.મી. નો દર)1. સમીકરણો રચવા:
- 10 કિ.મી. માટે ભાડું ₹105: $$x + 10y = 105 \dots (1)$$15 કિ.મી. માટે ભાડું ₹155: $$x + 15y = 155 \dots (2)$$
2. $x$ અને $y$ શોધવા (લોપની રીત):સમીકરણ (2) માંથી સમીકરણ (1) બાદ કરતાં:$$(x + 15y) – (x + 10y) = 155 – 105$$$$5y = 50 \Rightarrow y = 10$$$y=10$ ની કિંમત સમીકરણ (1) માં મૂકતા:$$x + 10(10) = 105$$$$x + 100 = 105 \Rightarrow x = 5$$3. 25 કિ.મી. માટે ભાડું:અંતર $= 25$ કિ.મી.કુલ ભાડું $= x + 25y = 5 + 25(10) = 5 + 250 = 255$ (₹)
જવાબ:
- નિશ્ચિત ભાડું ₹5 છે.
- પ્રતિ કિ.મી. નો દર ₹10 છે.
- 25 કિ.મી. માટે ચૂકવવું પડતું ભાડું ₹255 છે.

48) બે અંકોની એક સંખ્યા અને તે અંકોની અદલા બદલી કરતાં મળતી સંખ્યાનો સરવાળો 66 છે. જો તે સંખ્યાના અંકોનો તફાવત 2 હોય તો તે સંખ્યા શોધો.

આવી કેટલી સંખ્યાઓ છે?

ઉકેલ:ધારો કે સંખ્યાનો એકમનો અંક $y$ અને દશકનો અંક $x$ છે.મૂળ સંખ્યા: $10x + y$અંકોની અદલાબદલી કરતાં મળતી સંખ્યા: $10y + x$1. પ્રથમ શરત: સંખ્યા અને અદલાબદલી કરેલ સંખ્યાનો સરવાળો 66 છે. $$(10x + y) + (10y + x) = 66$$$$11x + 11y = 66$$$$x + y = 6 \dots (1)$$2. બીજી શરત: સંખ્યાના અંકોનો તફાવત 2 છે. 26અહીં બે કિસ્સા શક્ય છે:
- કિસ્સો 1: $x – y = 2$ $\dots (2)$સમીકરણ (1) અને (2) નો સરવાળો કરતાં:$$(x + y) + (x – y) = 6 + 2$$$$2x = 8 \Rightarrow x = 4$$$x=4$ ને સમીકરણ (1) માં મૂકતા: $4 + y = 6 \Rightarrow y = 2$સંખ્યા: $10(4) + 2 = 42$કિસ્સો 2: $y – x = 2$ અથવા $x – y = -2$ $\dots (3)$સમીકરણ (1) અને (3) નો સરવાળો કરતાં:$$(x + y) + (x – y) = 6 + (-2)$$$$2x = 4 \Rightarrow x = 2$$$x=2$ ને સમીકરણ (1) માં મૂકતા: $2 + y = 6 \Rightarrow y = 4$સંખ્યા: $10(2) + 4 = 24$
3. ચકાસણી:
- સંખ્યા 42, અદલાબદલી 24. સરવાળો $42+24 = 66$. તફાવત $4-2 = 2$. (સાચું)
- સંખ્યા 24, અદલાબદલી 42. સરવાળો $24+42 = 66$. તફાવત $4-2 = 2$ (અંકોનો). (સાચું)
જવાબ: તે સંખ્યાઓ 42 અને 24 છે. આવી બે સંખ્યાઓ છે.

49) થેલ્સનું પ્રમેય લખો અને સાબિત કરો. (પ્રમેય 6.1)

ઉકેલ:પ્રમેયનું વિધાન (સમપ્રમાણતાનું મૂળભૂત પ્રમેય): જો કોઈ ત્રિકોણની કોઈ એક બાજુને સમાંતર દોરેલી રેખા બાકીની બે બાજુઓને ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે, તો તે રેખાથી તે બાજુઓનું સમાન ગુણોત્તરમાં વિભાજન થાય છે.આપેલ: $\triangle \text{ABC}$ માં $\text{DE} || \text{BC}$ છે, જ્યાં $\text{D}$ એ $\text{AB}$ પર અને $\text{E}$ એ $\text{AC}$ પર છે.સાબિત કરવું: $\frac{\text{AD}}{\text{DB}} = \frac{\text{AE}}{\text{EC}}$રચના: $\text{B}$ ને $\text{E}$ સાથે અને $\text{C}$ ને $\text{D}$ સાથે જોડો. $\text{DM} \perp \text{AC}$ અને $\text{EN} \perp \text{AB}$ દોરો.સાબિતી:
1. $\triangle \text{ADE}$ નું ક્ષેત્રફળ: $\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{ADE}) = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{ADE}) = \frac{1}{2} \times \text{AD} \times \text{EN}$$$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{DBE}) = \frac{1}{2} \times \text{DB} \times \text{EN}$$$$\frac{\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{ADE})}{\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{DBE})} = \frac{\frac{1}{2} \times \text{AD} \times \text{EN}}{\frac{1}{2} \times \text{DB} \times \text{EN}} = \frac{\text{AD}}{\text{DB}} \dots (1)$$
2. બીજા પાયા $\text{AE}$ અને $\text{EC}$ માટે:$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{ADE}) = \frac{1}{2} \times \text{AE} \times \text{DM}$$$$\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{DEC}) = \frac{1}{2} \times \text{EC} \times \text{DM}$$$$\frac{\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{ADE})}{\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{DEC})} = \frac{\frac{1}{2} \times \text{AE} \times \text{DM}}{\frac{1}{2} \times \text{EC} \times \text{DM}} = \frac{\text{AE}}{\text{EC}} \dots (2)$$
3. $\triangle \text{DBE}$ અને $\triangle \text{DEC}$ એક જ પાયા $\text{DE}$ પર આવેલા છે અને સમાંતર રેખાઓ $\text{BC}$ અને $\text{DE}$ ની વચ્ચે આવેલા છે.તેથી, $\text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{DBE}) = \text{ક્ષેત્રફળ}(\triangle \text{DEC}) \dots (3)$
4. સમીકરણ (1), (2), અને (3) પરથી:$$\frac{\text{AD}}{\text{DB}} = \frac{\text{AE}}{\text{EC}}$$
જવાબ: આમ, થેલ્સનું પ્રમેય સાબિત થાય છે.

50) અનિલની ઊંચાઈ 90 સે.મી. છે. તે એક વીજળીના થાંભલાના તળિયેથી 1.2 મી/સે ની ઝડપથી દૂર જઈ રહ્યો છે.

જો વીજળીનો ગોળો જમીનના સમતલથી 3.6 મીટર ઊંચે હોય તો 4 સેકન્ડ પછી અનિલના પડછાયાની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ:
- વીજળીના થાંભલાની ઊંચાઈ $\text{AB} = 3.6 \text{ મીટર}$
- અનિલની ઊંચાઈ $\text{CD} = 90 \text{ સેમી} = 0.9 \text{ મીટર}$
- ઝડપ $= 1.2 \text{ મી/સે}$
- સમય $= 4 \text{ સેકન્ડ}$
1. 4 સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર:અંતર $\text{BD} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય} = 1.2 \times 4 = 4.8 \text{ મીટર}$ધારો કે અનિલના પડછાયાની લંબાઈ $\text{DE} = x$ છે.2. સમરૂપતાનો ઉપયોગ:$\triangle \text{ABE}$ અને $\triangle \text{CDE}$ માં:
- $\angle \text{B} = \angle \text{D} = 90^\circ$
- $\angle \text{AEB} = \angle \text{CED}$ (સામન્ય ખૂણો)
- તેથી, $\triangle \text{ABE} \sim \triangle \text{CDE}$ (ખૂ.ખૂ. શરત)
3. પડછાયાની લંબાઈ ($x$) શોધવી:$$\frac{\text{AB}}{\text{CD}} = \frac{\text{BE}}{\text{DE}}$$$$\frac{3.6}{0.9} = \frac{\text{BD} + \text{DE}}{\text{DE}}$$$$4 = \frac{4.8 + x}{x}$$$$4x = 4.8 + x$$$$3x = 4.8$$$$x = \frac{4.8}{3} = 1.6 \text{ મીટર}$$
જવાબ: 4 સેકન્ડ પછી અનિલના પડછાયાની લંબાઈ $1.6 \text{ મીટર}$ છે.

51) એક સુરેખ માર્ગ ટાવર તરફ જાય છે. ટાવરની ટોચ પર રહેલ રૂદ્ર, ટાવર તરફ અચળ ઝડપથી આવતી એક મોટર કારના અવસેધકોણનું માપ $30^{\circ}$ નોંધે છે.

6 સેકન્ડ પછી આ કારના અવસેધકોણનું માપ $60^{\circ}$ થાય છે, તો હવે કારને ટાવર સુધી પહોંચતાં કેટલો સમય લાગશે?

ઉકેલ:ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $\text{AB} = h$ છે. $\text{C}$ પર અવસેધકોણ $30^\circ$ અને $\text{D}$ પર $60^\circ$ છે. તેથી ઉત્સેધકોણ $\angle \text{ACB} = 30^\circ$ અને $\angle \text{ADB} = 60^\circ$.કાર $\text{C}$ થી $\text{D}$ સુધી 6 સેકન્ડમાં પહોંચે છે. $\text{CD} = d_1$. કારની ઝડપ $v$ છે.$d_1 = v \times 6 = 6v$ધારો કે કારને $\text{D}$ થી $\text{B}$ (ટાવરના પાયા) સુધી પહોંચવામાં $t$ સેકન્ડ લાગે છે.$\text{DB} = d_2 = v \times t$1. $\triangle \text{ABD}$ માં:$$\tan 60^\circ = \frac{\text{AB}}{\text{DB}} = \frac{h}{d_2}$$$$\sqrt{3} = \frac{h}{vt} \Rightarrow h = \sqrt{3} vt \dots (1)$$2. $\triangle \text{ABC}$ માં:$$\tan 30^\circ = \frac{\text{AB}}{\text{BC}} = \frac{h}{d_1 + d_2}$$$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{6v + vt}$$$$\sqrt{3}h = v(6+t) \dots (2)$$3. $t$ શોધવા:સમીકરણ (1) માંથી $h$ ની કિંમત સમીકરણ (2) માં મૂકતા:$$\sqrt{3}(\sqrt{3} vt) = v(6+t)$$$$3vt = v(6+t)$$$v \ne 0$ હોવાથી, $v$ ને દૂર કરતા:$$3t = 6 + t$$$$2t = 6 \Rightarrow t = 3 \text{ સેકન્ડ}$$
જવાબ: હવે કારને ટાવર સુધી પહોંચતાં 3 સેકન્ડ લાગશે.

52) એક વાસણનું સ્વરૂપ ઊંધા શંકુ જેવું છે. તેની ઊંચાઈ 8 સે.મી અને ઉપરના ખુલ્લા ભાગની ત્રિજ્યા 5 સે.મી છે. તે ઉપરની ધાર સુધી પાણીથી ભરેલું છે. તેની બાજુમાં બે મિત્રો યશ અને આકાશ ધાતુની ગોળીઓની રમત રમે છે. યશ 0.5 સે.મી ત્રિજ્યાવાળી ધાતુની કેટલીક ગોળીઓ વાસણમાં નાખે છે, ત્યારે તે વાસણમાંથી એક ચતુર્થાંશ જેટલું પાણી બહાર નીકળે છે.

તો વાસણમાં યશે કેટલી ધાતુની ગોળીઓ નાખી હશે?

ઉકેલ:1. શંકુનું ઘનફળ ($V_{\text{શંકુ}}$): $H = 8 \text{ સેમી}, R = 5 \text{ સેમી}$ $$V_{\text{શંકુ}} = \frac{1}{3} \pi R^2 H = \frac{1}{3} \pi (5)^2 (8) = \frac{200}{3}\pi \text{ સે.મી}^3$$2. બહાર નીકળેલ પાણીનું ઘનફળ ($V_{\text{પાણી}}$):પાણી બહાર નીકળેલું = $\frac{1}{4}$ ભાગ $$V_{\text{પાણી}} = \frac{1}{4} \times V_{\text{શંકુ}} = \frac{1}{4} \times \frac{200}{3}\pi = \frac{50}{3}\pi \text{ સે.મી}^3$$3. એક ધાતુની ગોળીનું ઘનફળ ($V_{\text{ગોળી}}$): ત્રિજ્યા $r = 0.5 \text{ સેમી} = \frac{1}{2} \text{ સેમી}$ $$V_{\text{ગોળી}} = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \times \frac{1}{8} = \frac{1}{6}\pi \text{ સે.મી}^3$$4. ગોળીઓની સંખ્યા ($n$):$$n \times V_{\text{ગોળી}} = V_{\text{પાણી}}$$$$n \times \frac{1}{6}\pi = \frac{50}{3}\pi$$$$n = \frac{50}{3} \times 6 = 100$$
જવાબ: વાસણમાં યશે 100 ધાતુની ગોળીઓ નાખી હશે.

53) એક તંબુનો આકાર નળાકાર ઉપર શંકુ મૂકવામાં આવેલ હોય તેવો છે. જો નળાકાર ભાગની ઊંચાઈ અને વ્યાસ અનુક્રમે 2.1 મીટર અને 4 મીટર હોય તથા ઉપરના ભાગની તિર્યક ઊંચાઈ 2.8 મીટર હોય, તો આ તંબુ બનાવવા વપરાતા કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ શોધો અને જો કેનવાસનો ભાવ રૂ.500 પ્રતિ મીટર હોય, તો તેમાં વપરાતા કેનવાસની કિંમત પણ શોધો. (તંબુના તળિયાને કેનવાસથી ઢાંકવામાં આવતો નથી તે ધ્યાનમાં લેવું.)

ઉકેલ:આપેલ:
- નળાકારની ઊંચાઈ $h_1 = 2.1 \text{ મીટર}$ વ્યાસ $d = 4 \text{ મીટર} \Rightarrow$ ત્રિજ્યા $r = 2 \text{ મીટર}$શંકુની તિર્યક ઊંચાઈ $l = 2.8 \text{ મીટર}$
1. કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ:કેનવાસ માત્ર વક્રસપાટી પર વપરાશે (તળિયું નથી). $$\text{કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ} = \text{નળાકારની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ} + \text{શંકુની વક્રસપાટીનું ક્ષેત્રફળ}$$$$A = 2\pi r h_1 + \pi r l$$$$A = \pi r (2h_1 + l)$$$$A = \frac{22}{7} \times 2 \times (2(2.1) + 2.8)$$$$A = \frac{44}{7} \times (4.2 + 2.8) = \frac{44}{7} \times 7$$$$A = 44 \text{ મીટર}^2$$2. કેનવાસની કિંમત:ભાવ $= \text{₹} 500$ પ્રતિ મીટર$^2$ $$\text{કુલ કિંમત} = \text{ક્ષેત્રફળ} \times \text{ભાવ}$$$$\text{કુલ કિંમત} = 44 \times 500 = \text{₹} 22000$$
જવાબ:
- તંબુ બનાવવા વપરાતા કેનવાસનું ક્ષેત્રફળ $44 \text{ મીટર}^2$ છે.
- તેમાં વપરાતા કેનવાસની કિંમત ₹22000 છે.

54) નીચે આપેલ આવૃત્તિ વિતરણનો બહુલક 34.5 અને કુલ અવલોકનો 165 હોય તો ખૂટતી આવૃત્તિ a અને b શોધો.

ઉકેલ:આપેલ: બહુલક $Z = 34.5$ , કુલ અવલોકનો $\sum f_i = 165$.વર્ગઆવૃત્તિ (fi)5-14514-231123-32$a$32-415341-50$b$50-5926કુલ1651. $a$ અને $b$ વચ્ચેનો સંબંધ (કુલ આવૃત્તિ):$$\sum f_i = 5 + 11 + a + 53 + b + 26 = 165$$$$95 + a + b = 165$$$$a + b = 165 – 95 \Rightarrow a + b = 70 \dots (1)$$2. બહુલકના સૂત્રનો ઉપયોગ:બહુલક $Z = 34.5$ છે, જે $32-41$ વર્ગમાં આવે છે. તેથી, બહુલક વર્ગ $32-41$ છે.
- બહુલક વર્ગની અધઃસીમા $l = 32$વર્ગ લંબાઈ $h = 41 – 32 = 9$બહુલક વર્ગની આવૃત્તિ $f_1 = 53$ બહુલક વર્ગની આગળના વર્ગની આવૃત્તિ $f_0 = a$ બહુલક વર્ગની પાછળના વર્ગની આવૃત્તિ $f_2 = b$
બહુલકનું સૂત્ર: $Z = l + \left(\frac{f_1 – f_0}{2f_1 – f_0 – f_2}\right) \times h$$$34.5 = 32 + \left(\frac{53 – a}{2(53) – a – b}\right) \times 9$$$$34.5 – 32 = \left(\frac{53 – a}{106 – (a + b)}\right) \times 9$$3. સમીકરણ (1) ની કિંમત મૂકતા: $a + b = 70$$$2.5 = \left(\frac{53 – a}{106 – 70}\right) \times 9$$$$2.5 = \left(\frac{53 – a}{36}\right) \times 9$$$$2.5 = \frac{53 – a}{4}$$$$2.5 \times 4 = 53 – a$$$$10 = 53 – a$$$$a = 53 – 10 \Rightarrow a = 43$$4. $b$ ની કિંમત શોધવા:$a+b=70$ માં $a=43$ મૂકતા:$$43 + b = 70 \Rightarrow b = 70 – 43 = 27$$
જવાબ: ખૂટતી આવૃત્તિઓ $a = 43$ અને $b = 27$ છે.

gunjo.in